Question

15．如图所示，一质量为M、半径为R的实心铁球p（质量分布均匀）放在水平地面上，现将球P挖去一半径为$\frac{R}{2}$的小球Q，挖去后的空穴与原球面相切于最低点．重力加速度大小为g，以地面为参考平面．求挖去球Q后的铁球的重力势能．

Answer 1

分析 根据体积关系，求出挖去部分的质量．用没挖之前球的重力势能，减去被挖部分的重力势能，就是剩余部分的重力势能

解答 解：根据m=ρV=ρ $\frac{4}{3}$πr³知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的质量为：M′=$\frac{1}{8}$M．
没挖之前，球体的重力势能：E_P1=MgR，
挖去部分m的重力势能：E_p2=mg（ $\frac{1}{2}$R）=$\frac{1}{8}$M•$\frac{1}{2}$gR=$\frac{1}{16}$MgR
所以挖去空穴后的铅球相对水平地面的重力势能：E_p=E_p1-E_p2=MgR-$\frac{1}{16}$MgR=$\frac{15}{16}$MgR
答：挖去空穴后的铅球相对水平地面的重力势能是$\frac{15}{16}$MgR

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在的重力势能减去割掉的小球重力势能等于剩余空腔部分的重力势能．掌握割补思想是解决本题的主要入手点