Question

4．有一对平行的金属板MN、PQ，与地面成一定角度处在竖直平面内，且PQ带正电，板间距离为d，板长为L₀在MN板正中间位置处有一个圆形小孔，在孔正上方距离为h处有一个质量为m的带电小球，小球所带电量的绝对值为q．当小球从静止释放后刚好可以从小孔穿过进入两板之间，最终恰能从上板的边沿M点飞出，若小球未与下板发生碰撞，且两平行金属板间电压U=$\frac{\sqrt{2}mgd}{q}$，不考虑空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的（　　）

• A． 小球带负电荷
• B． 小球从M点飞出时速度大小为v=$\sqrt{5gh}$
• C． 小球从M点飞出时速度沿水平方向
• D． 板长L=8$\sqrt{2}$h

Answer 1

分析 从S到O做自由落体运动，根据运动学公式求出到达小孔时的速度，进入平行板后受到重力和电场力，分解为水平方向和竖直方向处理，根据动力学规律求a，运用运动学公式求到达M点时的速度大小和方向；根据水平和竖直位移求板长．

解答 解：根据题意，小球进入极板间受到重力和电场力作用，若小球带负电，则小球受力方向必然向下，必与极板PQ相撞，因此小球带正电
 小球受电场力${F}_{电}^{\;}$=$\frac{U}{d}q=\sqrt{2}mg$
小球下落至小孔时，由运动学公式得
${v}_{\;}^{2}=2gh$得$v=\sqrt{2gh}$
板与地面夹角为θ，小球进入板后竖直方向位移$y=\frac{Lsinθ}{2}$
水平方向位$x=\frac{L}{2}cosθ$
运用沿水平和竖直分解，得到两个匀变速运动的合成
根据牛顿第二定律，水平方向：${F}_{电}^{\;}sinθ=m{a}_{x}^{\;}$即$\sqrt{2}mgsinθ=m{a}_{x}^{\;}$，得${a}_{x}^{\;}=\sqrt{2}gsinθ$
竖直方向：$mg-{F}_{电}^{\;}cosθ=m{a}_{y}^{\;}$即$mg-\sqrt{2}mgcosθ=m{a}_{y}^{\;}$，得${a}_{y}^{\;}=g-\sqrt{2}gcosθ$
根据运动学公式，水平方向：$\frac{L}{2}cosθ=\frac{1}{2}{a}_{x}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
竖直方向：$\frac{L}{2}sinθ=\sqrt{2gh}t+\frac{1}{2}{a}_{y}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
联立关于θ和t的方程组：θ=45°$t=\sqrt{\frac{8h}{g}}$
从而得，${a}_{y}^{\;}=0$，${a}_{x}^{\;}=g$，
即a=g，方向水平向左
所以小球进入板间有竖直向下的初速度$v=\sqrt{2gh}$，水平向左的加速度，做类平抛运动．
竖直方向位移$y=\frac{Lsinθ}{2}=\frac{\sqrt{2}L}{4}$
水平方向位$x=\frac{Lcosθ}{2}=\frac{\sqrt{2}L}{4}$
竖直方向匀速直线运动
$y=\frac{\sqrt{2}L}{4}=\sqrt{2gh}t$
水平方向匀加速直线运动
$x=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}=\frac{\sqrt{2}L}{4}$
联立以上各式得$L=8\sqrt{2}h$
小球从M点飞出时：${v}_{x}^{\;}=\sqrt{2g\frac{\sqrt{2}L}{4}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$=$\sqrt{8gh}$
竖直方向${v}_{y}^{\;}=\sqrt{2gh}$
${v}_{M}^{\;}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{10gh}$速度方向不沿水平方向
综上所述：D正确
故选：D

点评 本题是带电粒子在电场中的运动，关键是进行受力情况和运动情况分析，运用运动的合成与分解的方法研究电场中的偏转问题．