Question

8．在某星球表面，宇航员做了如下实验“探究功与速度变化的关系”．实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC（半径为r）组成，将一质量为m的小球从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小．
（1）小球从静止运动到C点的过程中，根据功的定义求外力做功W=mg（H-2r），借助传感器测得的弹力F求小球运动到C点时的速度v=$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$ （用相关字母表示：已知m、H、r、F，设重力加速度为g）
（2）根据以上关系式，若实验测得两变量H与F呈线性关系，可猜测W与v² 呈线性关系（选填v、v²、$\sqrt{v}$、…．）．
（3）某同学意外得到该宇航员所作的F～H图象（如图乙），以及其他相关数据：该星球半径R=5000km，小球质量m=0.2kg，圆轨道BC半径r=0.2m；根据所学知识，求出该星球表面的重力加速度g=5 m/s²；
该星球的第一宇宙速度为5000 m/s．

Answer 1

分析 （1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，根据重力做功公式求出外力做的功，在C点，根据合外力提供向心力公式求出速度；
（2）根据mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²得出H-F关系式，从而得出两变量H与F呈线性关系，可猜测W与v²呈线性关系；
（3）结合F-H图线求出圆轨道的半径和星球表面的重力加速度，第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$求出该星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球从静止运动到C点的过程中，只有重力做功，根据功的定义求外力做功W=mg（H-2r），
在C点，根据合外力提供向心力得：
F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$，
（2）根据mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²
联立解得H=$\frac{r}{2mg}F+\frac{5r}{2}$，此时H与F成线性关系，则猜测W与v²呈线性关系，
（3）由题图可知：H₁=0.5m时F₁=0；H₂=1.0m时F₂=5N；
可解得g=5m/s²，r=0.2m
第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，
根据m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$=mg
可得v₁=$\sqrt{gR}$=5×10³m/s．
故答案为：（1）mg（H-2r）；$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$；（ 2 ）v²；（3）5；5000．

点评 本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出H与F的关系式，难度适中．