Question

7．如图所示，P是倾角为30°的光滑固定斜面．劲度系数为k的轻弹簧一端固定在斜面底端的固定挡板C上，另一端与质量为m的物块A相连接．细绳的一端系在物体A上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另一端有一个不计质量的小挂钩．小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，细绳与斜面平行．在小挂钩上轻轻挂上一个质最也为m的物块B后，物块A沿斜面向上运动．斜面足够长，运动过程中B始终未接触地面，己知重力加速度为g，弹簧形变始终在弹性限度范围内．
（1）求物块A处于静止时，弹簧的压缩量x₁
（2）试定性分析物块A沿斜面上滑过程加速度的变化情况和运动情况；
（3）设物块A通过斜面上Q点位置时速度最大，求Q点到出发点的距离x₀和最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）物块A处于静止时，弹簧受到的压力等于A的重力沿斜面向下的分力，由平衡条件和胡克定律求出弹簧的压缩量x₁；
（2）分别对A和B，由牛顿第二定律列式可以得到加速度的表达式，再分析加速度的变化情况和运动情况．
（3）当A的加速度为零时，速度达到最大，由上述加速度的表达式求由Q点到出发点的距离x₀．由系统的机械能守恒定律可以求出最大速度．

解答 解：（1）物块A处于静止时，受到重力、斜面的支持力和弹簧的作用力，由平衡条件得：mgsin30°=kx₁，
得：x₁=$\frac{mg}{2k}$
（2）设运动过程中弹簧的弹力为F，细绳的拉力为T，设物块A沿斜面上滑过程的加速度为a，则由牛顿第二定律得：
对A有：T+F-mgsin30°=ma
对B有 mg-T=ma
解得  a=$\frac{1}{4}$g+$\frac{F}{2m}$
由于弹簧的弹力F先逐渐减小为零后反向增加，则A的加速度先减小至零，后反向增大．物体A先做加速运动，后减速运动．
（3）当物块A的加速度为零（或合外力为零）时，速度达到最大，则
   $\frac{1}{4}$g-$\frac{k（{x}_{0}-{x}_{1}）}{2m}$=0
解得 x₀=$\frac{mg}{k}$
此时弹簧的形变量 x₀-x₁=$\frac{mg}{2k}$（与初始时刻相同）
研究A、B和弹簧系统，由系统的机械能守恒得
  mgx₀=mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}$•2mv_m²，
解得 v_m=g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$
答：
（1）物块A处于静止时，弹簧的压缩量x₁是$\frac{mg}{2k}$．
（2）物块A沿斜面上滑过程加速度先减小至零，后反向增大．物体A先做加速运动，后减速运动．
（3）Q点到出发点的距离x₀是$\frac{mg}{k}$，最大速度v_m是g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$．

点评 本题要分析清楚物体的受力情况，应用牛顿第二定律列式分析加速度的变化情况，从而来分析物体的运动情况．对于系统，要知道系统的机械能守恒，抓住初末弹性势能相等是关键．