Question

6．如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接、两物块A、B质量均为m，初始时均静止，现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为α的匀加速直线运动，A、B两物块在开始一段时间内的v-t关系分别对应图乙中A、B图线，t₀时刻A、B的图线相切，2t₀时刻物块A达到最大速度v，重力加速度为g．试求：
（1）t₀时刻弹簧的压缩量x₁；
（2）2t₀时刻物块A与物块B之间的距离S；
（3）在t₀到2t₀时间内，弹簧弹力所做的功W．

Answer 1

分析 （1）由图乙知，在0-t₀时间内AB一起匀加速上滑，由位移公式求出位移，由胡克定律求出AB均静止时弹簧的压缩量，从而根据几何关系求出t₀时刻弹簧的压缩量x₁；
（2）2t₀时刻物块A达到最大速度v时，合力为零，由胡克定律和平衡条件求出此时弹簧的压缩量，由位移公式求出B的位移，即可求得2t₀时刻物块A与物块B之间的距离S；
（3）在t₀到2t₀时间内，弹簧弹力所做的功W由动能定理求解．

解答 解：（1）AB均静止时弹簧的压缩量 x₀=$\frac{2mgsinθ}{k}$
在0-t₀时间内AB一起匀加速上滑，通过的位移为 x=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
故t₀时刻弹簧的压缩量 x₁=x₀-x=$\frac{2mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$．
（2）2t₀时刻物块A达到最大速度v时，合力为零，此时弹簧的压缩量为 x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$
2t₀时间内B的位移为 x_B=$\frac{1}{2}a（2{t}_{0}）^{2}$=2a${t}_{0}^{2}$
故2t₀时刻物块A与物块B之间的距离 S=x_B-（x₀-x₂）=2a${t}_{0}^{2}$-$\frac{mgsinθ}{k}$
（3）t₀时刻物块AB的速度为 v′=at₀．
在t₀到2t₀时间内，B上滑的位移 x_B′=x₁-x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
对B，由动能定理得：W-mgsinθx_B′=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
可得弹簧弹力所做的功 W=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$-$\frac{1}{2}mga{t}_{0}^{2}sinθ$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$
答：
（1）t₀时刻弹簧的压缩量x₁是$\frac{2mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$．
（2）2t₀时刻物块A与物块B之间的距离S是2a${t}_{0}^{2}$-$\frac{mgsinθ}{k}$．
（3）在t₀到2t₀时间内，弹簧弹力所做的功W是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$-$\frac{1}{2}mga{t}_{0}^{2}sinθ$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$．

点评 解决本题的关键要正确分析物体的位移与弹簧形变量之间的几何关系，知道B速度最大的条件，再运用胡克定律、动力学规律结合研究．