Question

1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互间引力的作用下，分别绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统的总质量为M，经过一段时间演化后，两星做圆周运动的周期变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则该双星系统的质量变为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{k}{n}}M$
• B． $\frac{{n}^{3}}{{k}^{2}}M$
• C． $\frac{n}{k}M$
• D． $\frac{{n}^{3}}{{k}^{3}}M$

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据牛顿第二定律和向心力公式，分别对两星进行列式，求解出总质量的表达式进行分析．

解答 解：设m₁的轨道半径为R₁，m₂的轨道半径为R₂．两星之间的距离为L．
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．
由向心力公式可得：对m₁：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_1}$…①
对m₂：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_2}$…②
又因为R₁+R₂=L，m₁+m₂=M
由①②式可得：M=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$
经过一段时间演化后，两星做圆周运动的周期变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，故：
M′=$\frac{4{π}^{2}{{n}^{3}L}^{3}}{G{{k}^{2}T}^{2}}$
故M′=$\frac{{n}^{3}}{{k}^{2}}M$
故选：B

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，能运用万有引力提供向心力进行解题．