Question

13．如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内．己知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{4}$．不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　）

• A． 粒子圆周运动的半径r=2a
• B． 粒子的射入磁场的速度大小v=$\frac{qBa}{m}$
• C． 长方形区域的边长满足关系b=2a
• D． 长方形区域的边长满足关系b=（$\sqrt{3}$+1）a

Answer 1

分析 （1）根据题意，粒子运动时间最短时，其回旋的角度最小，画出运动轨迹，根据几何关系列出方程求解出轨道半径，再根据洛伦兹力提供向心力得出速度大小；
（2）最后离开磁场的粒子，其运动时间最长，由题意画出运动的轨迹，故可以根据几何关系列出方程求解b与a之间的关系．

解答 解：A、B、最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角：
$θ=\frac{t}{T}×360°=\frac{1}{12}×360°=30°$
由几何关系得：$R=\frac{a}{sin30°}=2a$
带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{{R}^{\;}}$
所以：$v=\frac{2qBa}{m}$，故A正确，B错误；

C、D、当R＜b时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，
设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，
t=$\frac{T}{4}$，回旋角度为∠OCA=$\frac{π}{2}$
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：Rsinα=R-a
解得：$sinα=\frac{a}{R}=\frac{1}{2}$，α=30°
由图可得：$b=Rsinα+Rcosα=a+\sqrt{3}a$，故C错误，D正确；
故选：AD

点评 本题关键是画出运动时间最短的粒子的运动轨迹，然后根据几何关系得到轨道半径，再根据洛仑兹力提供向心力得到速度大小．