Question

19．如图所示，半径为R=1m，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m=1kg的小球，在水平恒力F=$\frac{250}{17}$N的作用下由静止沿光滑水平面的A点运动到B点、AB间的距离x=$\frac{17}{5}$m，当小球运动到B点时撤去外力F；小球经半圆管道运动到最高点C，此时球对外轨的压力F_N=2.6mg；而后垂直打在倾角为θ=45°的斜面上（g=10m/s²）．计算：
（1）小球在B点的速度的大小；
（2）小球在C点的速度的大小；
（3）小球由B到C的过程中克服摩擦力做的功；
（4）D点距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）对AB段，运用动能定理求小球在B点的速度的大小；
（2）小球在C点时，由重力和轨道对球的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在C点的速度的大小；
（3）小球由B到C的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功；
（4）小球离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求D点距地面的高度．

解答 解：（1）小球从A到B过程，由动能定理得
   Fx=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解之得 v_B=10m/s
（2）在C点，由牛顿第二定律得：
   mg+F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
又据题有 F_N=2.6mg
解得 v_C=6m/s
（3）由B到C的过程，由动能定理得：
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得克服摩擦力做的功 W_f=12J
（4）设D点距地面的高度为h．
则：2R-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  
   htanθ+x=v_Ct
解得 h≈0.02m
答：
（1）小球在B点的速度的大小是10m/s；
（2）小球在C点的速度的大小是6m/s；
（3）小球由B到C的过程中克服摩擦力做的功是12J；
（4）D点距地面的高度是0.02m．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．