Question

4．如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻，导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并接触良好，斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直斜面向上的磁场，磁感应强度大小为B₀．已知b棒的质量为m，a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）断开开关S，a棒、b棒固定在磁场中，恰与导轨构成一个边长为L的正方形，磁场从B₀以$\frac{△B}{△t}$=k均匀增加，写出a棒所受安培力F_安随时间t变化的表达式．
（2）若接通开关S，同时对a棒施以平行导轨斜向上的拉力F，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止，当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力F，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨，当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，求a棒质量m_a及拉力F的大小．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求解感应电动势，根据闭合电路的欧姆定律电路的电流，根据安培力计算公式来解答；
（2）弄清楚电路连接情况，根据欧姆定律得干路电流，b棒保持静止时根据共点力平衡条件列方程，分析a棒的运动情况，根据机械能守恒定律得到a棒返回磁场时速度，a棒匀速下滑时，根据共点力的平衡条件求解a棒的质量；a棒向上运动时受力平衡，由此求解拉力大小．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L}^{2}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{2R}$，
t时刻磁感应强度为：B=B₀+kt，
此时棒所受的安培力为：F_安=BIL，
解得：F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$
（2）根据题意可知，a棒沿斜面上运动时，a棒为电源，b棒和电阻R并联，通过a棒的电流为I₁，
由并联电路关系可得：I₁=I_b+I_R
b棒和电阻R阻值相等，则通过b棒的电流为：I_b=$\frac{1}{2}{I}_{1}$，
电路的总电阻为：R_总=$\frac{{R}_{b}R}{{R}_{b}+R}+{R}_{a}$，
由欧姆定律得干路电流为：I₁=$\frac{E}{{R}_{总}}$，
感应电动势为：E=BLv，
b棒保持静止，则有：mgsinθ=BI_bL，
a棒离开磁场后撤去拉力F，在a棒进入磁场前机械能守恒，返回磁场时速度还是v，此时a棒和电阻R串联，则电路中的电流为：
${I}_{2}=\frac{E}{{R}_{a}+R}$
a棒匀速下滑，则有：m_agsinθ=BI₂L，
联立以上各式，解得：m_a=$\frac{3}{2}m$，
a棒向上运动时受力平衡，则有：F=m_agsinθ+BI_aL，
解得：F=$\frac{7}{2}mgsinθ$．
答：（1）a棒所受安培力F_安随时间t变化的表达式为F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$；
（2）a棒质量为$\frac{3}{2}m$，拉力F的大小为$\frac{7}{2}mgsinθ$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．