Question

5．一湖的南北两岸各有-码头A和B，有甲、乙两船分别于AB间往返穿梭匀速航行，且船每到一码头立即返航（不计船在码头停靠的间）．某刻，甲和乙刚好分别自A和B出发，此后，两船的第一次相遇距A点300米，第二次相遇距B点200米，求湖宽多少？自第一相遇后，甲船至少还要航行多少米，这两船才会在第一次相遇的位置同样地相遇．

Answer 1

分析 据两次相遇用位移关系列出方程联合求解湖宽；再利用两船的速度与胡宽列出两船同时到达AB两岸的路程关系，再据题意求出两船所走的趟数关系即可求解．

解答 解：设湖宽为L，甲乙两船的速度分别为v₁、v₂
设第一次相遇的时间为t，所以：
                v₁t=300   ①
               v₁t+v₂t=L      ②
联立①②得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{300}{L}$    ③
同理第二次相遇可推导出：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{200+L}{3L}$   ④
联立③④解得：L=700m　　　
　　　　　　　$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{4}$　　⑤
由于两船在第一次相遇的位置同样地相遇，所以两船应同时到达两岸（甲和乙刚好分别自A和B出发），设甲、乙两船同时到达两岸所用的时间为t₁，所走的趟数分别为n、m（为整数）
所以：v₁t₁=700n　　　⑥
　　　v₂t₂=700m　　　⑦
联立⑤⑥⑦得：$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$
两船应同时到达两岸（甲和乙刚好分别自A和B出发），所以n=6；m=8，才能保证回到原岸．
所以甲船至少再行驶的距离：s=6L-300m+300m=4200m
答：湖宽700m，自第一相遇后，甲船至少还要航行4200米，这两船才会在第一次相遇的位置同样地相遇．

点评 本题难度较大，一是需要明确运动示意图，找出各量间的关系，特别是理解好两船两船在第一次相遇的位置同样地相遇，否则易出现少或多300m的情况；二是所列方程的数据处理，否则易出现无法求解现象．