Question

18．如图所示，平面直角坐标系中的第象限内有半径为R的圆分别与x轴，y轴相切于M、N点，圆内存在垂直坐标系平面的匀强磁场，在第I象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E．磁场电场在图中都未画出，一质量为m、电荷量为q的粒子从M点垂直x轴射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从Q（2R，0）点射出电场，出射方向与x轴夹角α=45°，粒子的重力不计，求：
（1）粒子进入电场时的速度v₀；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向；
（3）粒子从M点入射到运动至Q点的时间t_总．

Answer 1

分析 （1）由粒子在第Ⅰ象限做类平抛运动的水平位移和末速度方向，再由题设场强为E得到初速度v₀ ．
（2）在第一问的基础上，求出粒子做类平抛运动的竖直位移，得到粒子从磁场中的位置，再由几何关系求得粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力求出磁感应强度的大小，由左手定则确定磁感应强度的方向．
（3）由几何关系求出粒子在磁场中偏转角，从而求出粒子在磁场中的运动时间，再粒子在第Ⅰ象限的时间就是第三问所求所求．

解答 解：（1）设粒子在电场中运动时间为t₁，则在Q处，粒子沿y轴方向的分速度：v_y=v₀tanα=v₀
在x轴方向有：2R=v₀t₁
设y轴方向匀加速直线运动的加速度为a，由牛顿第二定律有：qE=ma   且：v_y=at₁
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEm}{qR}}$
（2）由于粒子在第Ⅰ象限做类平抛运动的末速度为与x轴成45°，所以水平位移为竖直位移的2倍，则
粒子从N点离开磁场．画出粒子运动轨迹如图所示，O为粒子轨迹圆的圆心，N为粒子射出磁场的位置，
且粒子垂直y轴进入电场，则由几何关系知粒子轨迹圆半径等于R．
由向心力公式和牛顿第二定律$qvB=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$
粒子在第一象限运动沿y轴负方向运动，与电场方向相反，故粒子带负电，故根据左手定则可知：磁感应强度的方向为垂直坐标平面向里．
（3）由图可知，粒子在磁场内的运动时间为：t₂=$\frac{1}{4}T$
又T=$\frac{2πm}{qB}$
得：t₂=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{2qE}}$
由（1）知粒子在电场中的运动时间为：t₁=$\sqrt{\frac{2Rm}{qE}}$
故所求时间为：t_总=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2mR}{qE}}+\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{2qE}}$=$（1+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
答：（1）粒子进入电场时的速度v₀为$\sqrt{\frac{2qEm}{qR}}$．
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$、方向为垂直坐标平面向里．
（3）粒子从M点入射到运动至Q点的时间t_总为$（1+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$．

点评 本题考察的是带电粒子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，后在匀强电场做类平抛运动的特例：①是轨迹圆的半径恰与磁场圆的半径相等，在求出电场强度的大小之后，最好先求出类平抛运动的竖直位移，从而确定离开磁场的位置，从而由几何关系求出半径．②在类平抛运动中末速度方向与水平方向成45°，这样水平位移就为竖直位移的两倍，即竖直位移为R，从而确定带电粒子离开磁场的位置．