Question

5．如图，xOy平面内，y轴右侧边长为2R的正方形区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E，以O₁〔R，0〕为圆心，R为半径的圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现从O点沿x轴正方向，不断向电磁场区域射入速度相同的正粒子，粒子恰好能做匀速直线运动．当撤去电场，粒子离开磁场区域时，速度与x轴正方向的夹角θ=60°（图中未画出）．不计粒子所受重力及粒子间相互作用力．MN是过圆心O₁且平行于y轴的直线．求：（结果均用根式表示，sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$）
（1）粒子的荷比$\frac{q}{m}$；
（2）当撤去电场，粒子在正方形区域内的运动时间；
（3）当撤去MN右侧的磁场且保留圆内电场（即圆周与正方形所夹空间无电、磁场），粒子从某点P（图中未画出）离开正方形区域，求P点的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，洛伦兹力和电场力平衡；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力牛顿第二定律与几何关系结合，两个过程联立即可；
（2）过程一：在磁场中做匀速匀速圆周运动；过程二：出磁场后做匀速直线运动，分别求这两个过程的时间，加和即可；
（3）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，运用运动的合成和分解，针对分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律，再与圆的轨迹方程联立即可求交点坐标．

解答 解：（1）设粒子在匀强磁场中运动的轨道半径为r，
粒子做匀速直线运动，受力平衡条件得：qvB=Eq
由洛伦兹力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                
根据几何关系得：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{R}{r}$
联立以上各式得：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}E}{3{RB}^{2}}$
（2）撤去电场后，粒子在正方形区域内运动的轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，通过的圆弧长度为：l₁=rθ
离开磁场做匀速直线运动的轨迹长度为：l₂=$\frac{R}{cos（90°-θ）}$-R
设粒子在正方形区域内运动的时间为t，则l₁+l₂=vt
联立以上各式得：t=$\frac{（\sqrt{3}π+2\sqrt{3}-3）RB}{3E}$
（3）当撤去圆心O₁右侧的磁场时，粒子从0₁点开始做类平抛运动，轨迹如图，
设轨迹与圆0₁ （R，0）的交点坐标为（x，y），
由带电粒子在垂直进入匀强电场中运动规律得：x-R=vt
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{Eq}{2m}$t²
得轨迹方程为：y=$\frac{\sqrt{3}（x-R）^{2}}{6R}$
由数学知识可得，圆0₁的方程为：（x-R）²+y²=R²
将轨迹方程和圆的方程联立得：y=（2-$\sqrt{3}$）R
答：（1）粒子的荷比$\frac{q}{m}$为$\frac{\sqrt{3}E}{3{RB}^{2}}$；
      （2）当撤去电场，粒子在正方形区域内的运动时间为$\frac{（\sqrt{3}π+2\sqrt{3}-3）RB}{3E}$；
      （3）当撤去MN右侧的磁场且保留圆内电场（即圆周与正方形所夹空间无电、磁场），粒子从某点P（图中未画出）离开正方形区域，P点的纵坐标为（2-$\sqrt{3}$）R．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动（速度选择器模型）、带电粒子在磁场中的匀速圆周运动、带电粒子在偏转电场中的类平抛运动，本题难点主要集中在数学问题上，平面几何和解析几何的运用．