Question

4．两根相距L=0.5m的足够长的金属导轨如图甲所示放置，他们各有一边在同一水平面上，另一边垂直于水平面．金属细杆ab、cd的质量均为m=0.05kg，电阻均为R=1.0Ω，它们与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计．整个装置处于磁感应强度大小B=1.0T、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下沿导轨向右运动时，从某一时刻开始释放cd杆，并且开始计时，cd杆运动速度c随时间变化的图象如图乙所示（在0～1.0s和2.0～3.0s内，cd做匀变速直线运动．g=10m/s² ）．求：
（1）在0～1.0s时间内，回路中感应电流I₁的大小；
（2）在0～3.0s时间内，ab杆在水平导轨上运动的最大速度V_m；
（3）已知1.0～2.0s内，ab杆做匀加速直线运动，写出1.0～2.0s内拉力F随时间t变化的关系式，并在图丙中画出在0～3.0s内，拉力F随时间t变化的图象．（不需要写出计算过程，只需写出表达式和画出图线）

Answer 1

分析 （1）由图看出，在0～1.0s时间内，cd杆做匀加速直线运动，所受的安培力是恒力，根据速度图象的斜率求出加速度，由牛顿第二定律和安培力公式求解回路中感应电流的大小；
（2）在2s～3s时间内，cd杆做匀减速直线运动，安培力最大．由图象的斜率求出加速度，根据牛顿第二定律可求出回路中感应电流的大小；由闭合电路欧姆定律
（3）分段由牛顿第二定律求出拉力，再作出图象．

解答 解：（1）在0～1s时间内，cd杆向下做匀加速运动，
由乙图可知：${a_1}=\frac{{{V_1}-{V_0}}}{t}=4m/{s^2}$，
对cd杆进行受力分析，根据牛顿第二定律有：
在竖直方向上：mg-f₁=ma₁，
在水平方向上：N₁-F_安1=0   F_安1=I₁LB  f₁=μN₁=μBI₁L，
解得：${I_1}=\frac{{m（g-{a_1}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10-4）}{0.5×1×0.5}=1.2A$；   
（2）在2～3s时间内，cd杆向下做匀减速运动时，
由乙图可知，加速度：${a_3}=\frac{{{V_2}-{V_3}}}{t}=4m/{s^2}$，
对cd杆进行受力分析，根据牛顿第二定律有：
在竖直方向上：f₃-mg=ma₃ ，
在水平方向上：N₃-F_安3=0  F_安3=I₃LB  f₃=μN₃=μBI₃L，
解得：${I_3}=\frac{{m（g+{a_3}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10+4）}{0.5×1×0.5}=2.8A$，
电动势：E₃=I₃×2R=5.6V，感应电动势：E₃=BLV₃，
ab杆的最大速度为：${V_m}={V_3}=\frac{E_3}{BL}=11.2m/s$；  
（3）在0～1.0s内，ab杆做匀速运动：F₁=BI₁L+μmg=0.85N，${V_1}=\frac{{2{I_1}R}}{BL}=4.8m/s$，
在2.0～3.0s内，ab杆做匀速运动：F₃=BI₃L+μmg=1.65N，${V_3}=\frac{{2{I_3}R}}{BL}=11.2m/s$，
在1～2s内，ab杆做匀加速运动，加速度为：${a_2}=\frac{{{V_3}-{V_1}}}{t_2}=6.4m/{s^2}$，
对ab杆分析，根据牛顿第二定律有：$F-μmg-\frac{{{B^2}{L^2}[{V_1}+{a_2}（t-1）]}}{2R}=m{a_2}$（1s＜t＜2s）
所以表达式为：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s）
当t=1s时拉力为：F_2min=1.17N
当t=2s时拉力为：F_2max=1.97N
在0～3.0s内，拉力F随时间t变化的图象如图所示：

答：（1）在0～1.0s时间内，回路中感应电流I₁的大小1.2A；
（2）在0～3.0s时间内，ab杆在水平导轨上运动的最大速度V_m为11.2m/s；
（3）已知1.0～2.0s内，ab杆做匀加速直线运动，1.0～2.0s内拉力F随时间t变化的关系式为：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s），在0～3.0s内，拉力F随时间t变化的图象如图所示．

点评 本题涉及电磁感应过程中的复杂受力分析，解决这类问题的关键是，根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，然后根据牛顿第二定律求解拉力的大小，进一步根据运动状态列方程求解．