Question

11．如图所示，水平轨道A点左侧光滑，右侧粗糙，距A点s=1.0m的B端与半径R=0.25m的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直．一小物块m₁以v₀=3.0m/s的速度，与静置于A点的小物块m₂发生弹性碰撞．碰后m₂沿水平轨道运动，然后滑上轨道BCD．已知m₂=2.0kg，m₂与AB轨道间的动摩擦因数μ=0.20，g取10m/s²．
（1）若物块m₂进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小为68N，求物块m₂到达半圆轨道的中点C点时的速度大小V_C；
（2）若物块m₂能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块m₂碰后的最大速度V₁；
（3）若物块m₂能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块m₁的质量取值范围．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第三定律知，物块刚进入圆轨道时受到的支持力N=68N，由机械能守恒定律结合牛顿第二定律列式求解即可；
（2）要使m₂仍能沿圆轨道滑回，m₂在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，应用动能定理可以求出m₂碰后的速度；
（3）碰撞过程动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律以及机械能守恒定律可以求出m₂的质量范围．

解答 解：（1）由牛顿第三定律知，物块刚进入圆轨道时受到的支持力N=68N，
设物块m₂经过B点时的速度为v_B，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{C}}^{2}+{m}_{2}gR$…①
由牛顿第二定律得：$N-{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$…②
解得物块m₂到达半圆轨道的中点C点时的速度大小为：v_C=1.0m/s
（2）要使m₂仍能沿圆轨道滑回，m₂在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，
设碰后m₂的速度为v₁时恰能滑到C点，由动能定理有：$-μ{m}_{2}gs-{m}_{2}gR=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{1}}^{2}$…③
解得：v₁=3.0m/s（此为m₂碰后的最大速度）
（3）设碰后m₂的速度为v₂时恰能滑到B点，由动能定理有：$-μ{m}_{2}gs=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得：v₂=2.0m/s碰后m₂的速度满足2.0m/s＜v≤3.0m/s时，m₂能滑上圆轨道，并仍能沿圆轨道滑下
设 m₁、m₂发生弹性碰撞后的速度分别为v₁′、v₂′，以m₁的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁′+m₂v₂′，
碰撞过程无动能损失，有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
得：${v}_{2}′=\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$，
由2.0m/s＜$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$≤3.0m/s，
解得：1.0kg＜m₁≤2.0kg．
答：（1）若物块m₂进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小为68N，求物块m₂到达半圆轨道的中点C点时的速度大小V_C；
（2）若物块m₂能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块m₂碰后的最大速度V₁；
（3）若物块m₂能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块m₁的质量取值范围．

点评 本题考查了求压力、速度与质量范围问题，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，分析清楚物体运动过程后应用动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律可以解题．