Question

2．如图所示，在0≤x≤3a、0≤y≤a范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B坐标，原点O处有一个粒子源，朝第一象限各个方向发射大量各种速度的某种带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力．
（1）若所有粒子都无法从CD边射出，求粒子速度的最大值：
（2）对于能从C点射出磁场的粒子，求在磁场中运动的最长时间（．可用反三角函数丧示）

Answer 1

分析 （1）临界情况是轨迹圆与AC边相切且粒子从D点射出，画出轨迹，结合几何关系得到轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解出最大速度；
（2）能够从C点射出的粒子，如果速度最大，则轨道半径最小，对应的圆心角最大，临界情况是轨迹与AC相切且经过C点，画出轨迹，结合几何关系得到轨道半径，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求解时间．

解答 解：（1）画出临界轨迹，如图所示：

结合几何关系，有：
R²=（1.5a）²+（R-a）²
解得：
R=1.625a
根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
$v=\frac{13qBa}{8m}$
（2）当轨迹与AC相切且经过C点时，在磁场中运动的时间最长，轨迹如图：

结合几何关系，有：
R²=（3a）²+（R-a）²
解得：
R=5a
根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
$v=\frac{5qBa}{m}$
sinθ=$\frac{3a}{R}=0.6$
故θ=37°=$\frac{37°}{360°}×2π$≈0.65rad
故运动时间为：
t=$\frac{θR}{v}$=$\frac{0.65×5a}{\frac{5qBa}{m}}$=$\frac{0.65m}{qB}$
答：（1）若所有粒子都无法从CD边射出，粒子速度的最大值为$\frac{13qBa}{8m}$；
（2）对于能从C点射出磁场的粒子，在磁场中运动的最长时间为$\frac{0.65m}{qB}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，找出临界轨迹，结合几何关系求解轨道半径，结合牛顿第二定律列式求解．