Question

14．如图所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，极长L=$\sqrt{3}$d，B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离$\overline{KN}$=a．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v₀射入，不计粒子的重力．现在A、B板上加一恒定电压，则该粒子穿过金属板后恰好穿过小孔K：
（1）求A、B板上所加的恒定电压大小．
（2）求带电粒子到达K点的速度．
（3）在足够长的NM和NP两档板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值B_min．

Answer 1

分析 （1）带电粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（2）先求出射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度，再求出水平速度，根据速度的合成法则求出和速度；
（3）粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，结合几何关系即可求解．

解答 解：（1）带电粒子做类平抛运动，则：L=v₀t，
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，已知：L=$\sqrt{3}$d，解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3q}$；
（2）射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度为v_y，则：$\frac{1}{2}$d=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
水平方向：L=$\sqrt{3}$d=v₀t，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得：tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=30°，
粒子速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，粒子垂直MN板入射．
（3）如图所示，粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，
粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，
则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．
粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{mv}{qr}$，
要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示：

根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF是边长为r的正方形．则在三角形NCF中，有：$\sqrt{3}$r=a+r，解得：r=$\frac{a}{\sqrt{3}-1}$，
解得：B_min=$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$；
答：（1）A、B板上所加的恒定电压大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3q}$．
（2）带电粒子到达K点的速度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀．
（3）该磁场的磁感应强度的最小值B_min为$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$．

点评 本题主要考查了平抛运动、圆周运动的基本公式的应用，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，要求同学们能结合几何关系求解，难度较大．