Question

7．据报道，一儿童玩耍时不慎从45m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到楼底的距离为18m，为确保能稳妥安全接住儿童，管理人员将尽力节约时间，但又必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看作质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10m/s²．
（1）管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？
（2）若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式求出儿童自由落体运动的时间，结合位移和时间求出管理人员的最小平均速度．
（2）根据运动学公式判断出管理人员先加速、后匀速、再减速过程，抓住总位移和总时间，结合运动学公式求出管理人员奔跑时的加速度大小．

解答 解：（1）儿童下落过程，由运动学公式得，$h=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$   ①
管理人员奔跑的时间t≤t₀ ②
对管理人员奔跑过程，由运动学公式得$s=\overline{v}t$  ③
由①②③联立并代入数据得，$\overline{v}$≥6 m/s．
（2）假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v₀，
由运动学公式得，$\overline{v}=\frac{0+{v}_{0}}{2}$，得${v}_{0}=2\overline{v}=12m/s＞{v}_{max}$=9 m/s，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为名；t₁、t₂、t₃，位移分别为s₁、s₂、s₃，
由运动学公式得，${s}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$   ④，${s}_{3}=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$   ⑤，s₂=v_maxt₂   ⑥，
v_max=at₁=at₃  ⑦，
t₁+t₂+t₃≤t₀   ⑧，
s₁+s₂+s₃=s  ⑨
由④～⑨联立并代入数据得，a≥9 m/s²．
答：（1）管理人员至少用6m/s的平均速度跑到楼底；
（2）管理人员奔跑时加速度的大小需满足a≥9 m/s²．

点评 解决本题的关键理清管理人员在整个过程中的运动规律，抓住总时间和总位移，结合运动学规律灵活求解，难度中等．