Question

【题目】质量未知的小球在竖直向上、大小为F的力作用下，竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0 ． 运动至位置A时，力突然增大到某值（方向仍向上），持续一段时间t后，力变为竖直向下，但仍保持某值大小不变，再持续同样一段时间后，小球运动到B点．重力加速度大小为g，不计其他阻力．
（1）小球运动到B点时的速度；
（2）①求增大后力的大小；（已知不加外力时，小球以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍）；②为保证后来的力比原来的大，试给出相应的t和v0应满足的条件．

Answer 1

【答案】
（1）解：设小球的质量为m，增大后的力为F′，根据题中条件可以判断力F与重力方向相反；

对于匀速运动阶段，有 F=mg…①

对于力突然增大后的第一段t时间，由牛顿第二定律得：F′﹣mg=ma1…②

对于力变为竖直向下的时间t内，由牛顿第二定律得：F′+mg=ma2 …③

由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为：v1=v0+a1t ④

油滴在B的速度为：vB=v﹣a2t ⑤

联立①至⑤式，可得：vB=v0﹣2gt；

答：小球运动到B点时的速度为v0﹣2gt；

（2）解：设无力时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有：v02=2gh…⑥

根据位移时间关系可得：v0t+ a1t2=x1…⑦

v1t﹣ a2t2=x2…⑧

小球的运动有两种情况：

情况一：

位移之和 x1+x2= …⑨

联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：

F′=F+ （g+ ﹣ ）

由题意得 F′＞F，即满足条件 g+ ﹣ ＞0，即当0＜t＜（1﹣ ） 或t＞（1+ ） 才是可能的；

情况二：

位移之和x1+x2=﹣ …⑩

联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：

F′=F+ （g﹣ ﹣ ）

由题意得E2＞E1，即满足条件F′＞F，即满足条件 g﹣ ﹣ ＞0，即当t＞（1+ ） ，另一解为负，不合题意，舍去．

答：增大后力的大小为F+ （g+ ﹣ ），t和v0应满足的条件为0＜t＜（1﹣ ） 或t＞（1+ ） ；

或增大后力的大小为F+ （g﹣ ﹣ ），满足的条件为t＞（1+ ） ．

【解析】（1）分析小球的运动过程，小球先向上做匀速直线运动，到达A处后因力突然增大而开始做匀加速直线运动，经过t后力突然反向，小球开始做匀减速直线运动，并可能在速度减为零后做反向的匀加速直线运动．对力增大后的两个过程分别列出牛顿第二定律方程，即可求得两个过程中的加速度，而t又是一个已知量，那么直接使用运动学公式即可求出小球运动到B点时的速度vB的大小；（2）因为小球最后可能做反向的匀加速直线运动，因此我们不能确定B点的位置究竟在A点上方还是A点下方，故需要分为两种情况讨论．对其中每一种情况，根据运动学公式列出方程，并与竖直上抛的方程进行联立，即可分别求得两种情况下的场强E2的大小；而根据题意，为求出t1与v0满足的条件，只需要使E2＞E1即可，那么就可以最终求得t1与v0间的关系式．