Question

5．已知下列数据：
（1）地面附近物体的重力加速度g；
（2）地球半径R；
（3）月球与地球的球心距离r=60R（R为地球半径）；
（4）第一宇宙速度v₁；
（5）月球公转周期T；
（6）万有引力常量G．
根据以上数据，试用三种表达式表示地球质量．

Answer 1

分析 1、根据在地球表面附近万有引力等于重力求解地球质量．
2、在地球表面附近，根据万有引力提供近地卫星向心力求解地球质量．
3、月球绕地球运动可近似看做是匀速圆周运动，根据万有引力提供近地卫星向心力求解地球质量．

解答 解：方法一：根据万有引力定律，在地球表面附近有万有引力等于重力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
方法二：在地球表面附近，根据万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：M=$\frac{{v}_{1}^{2}R}{G}$
方法三：月球绕地球运动可近似看做是匀速圆周运动，根据万有引力定律
$\frac{GMm}{{（60R）}^{2}}$=$\frac{m{•4π}^{2}}{{T}^{2}}$×60R
得：M=$\frac{86400{{0π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
答：地球的质量为$\frac{{gR}^{2}}{G}$或$\frac{{v}_{1}^{2}R}{G}$或$\frac{86400{{0π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$．

点评 掌握天体运动的两个重要关系：1、星球表面的物体受到的重力等于万有引力；2、环绕天体绕中心天体做圆周运动时，万有引力提供向心力．并且要能根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式．