Question

13．如图所示，有一半圆，其直径水平与另一圆的底部相切于圆心O点，现有两条光滑轨道AB、CD，两轨道都经过切点O，A、C、B、D分别位于上下两圆的圆周上．现在让一物块先后从两轨道顶端A、C由静止下滑经O点至底端B、D，则物块在每一段倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　）

• A． t_AO＜t_CO
• B． t_AO＞t_CO
• C． t_AB＞t_CD
• D． t_AB=t_CD

Answer 1

分析 根据几何关系求出轨道的长度，结合牛顿第二定律求出物块下滑的加速度，根据位移时间公式求出物块在滑动时经历的时间大小关系．

解答 解：AB、设AB与水平方向的夹角为θ，上边的圆半径为R，下面的半圆半径为r，如图所示：
对AO边：由几何关系可得AO=2Rsinθ，
物块在AB上滑动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律可得：mgsinθ=ma，
解得：a=gsinθ；
根据位移时间关系可得：2Rsinθ=$\frac{1}{2}a{t}_{AO}^{2}$
解得：t_AO=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
由此可知，从A、C到O下滑的时间与倾角无关，所以有：t_AO=t_CO，AB错误；
CD、对AB边：AB的长度为L=2Rsinθ+r，
根据运动学公式可得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{4R}{g}+\frac{2r}{gsinθ}}$；
由图可知，CD的倾角大于AB的倾角，倾角越大sinθ越大，则滑块经过的时间越短，
所以有：t_AB＞t_CD，C正确、D错误．
故选：C．

点评 本题主要是考查了“等时圆”的问题，解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的大小关系进行比较．