Question

3．如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长．在圆弧轨道上静止着N个半径为r（r＜＜R）的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3…N．现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． N个小球在运动过程中始终不会散开
• B． 第1个小球到达最低点的速度v=$\sqrt{gR}$
• C． 第N个小球在斜面上向上运动时机械能增大
• D． N个小球构成的系统在运动过程中机械能守恒，且总机械能E=$\frac{1}{2}$NmgR

Answer 1

分析 N个小球在BC和CD上运动过程中，相邻两个小球始终相互挤压，把N个小球看成整体，则小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，弧AB的长度等于小球全部到斜面上的长度，而在圆弧上的重心位置比在斜面上的重心位置低，所以第N个小球在斜面上能达到的最大高度比R小，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律即可求解第一个小球到达最低点的速度．

解答 解：A、在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；
B、D、把N个小球看成整体，若把弧AB的长度上的小球全部放在高度为R的斜面上，通过比较可知，放在斜面上的N个小球的整体的重心位置比较高．而放在斜面上时，整体的重心的高度为：$\frac{1}{2}$R，选择B点为0势能点，则整体的重力势能小于$\frac{1}{2}$NmgR，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Nmv²＜Nmg•$\frac{R}{2}$；
解得：v＜$\sqrt{gR}$，即第1个小球到达最低点的速度v＜$\sqrt{gR}$，故B错误，D错误；
C、冲上斜面后，前面的小球在重力沿斜面向下的分力的作用下，要做减速运动，而后面的小球由于惯性想变成匀速运动，所以后面的小球把前面的小球往上推，后面的小球对前面的小球做正功，所以可得第N个小球在斜面上向上运动时机械能增大．故C正确．
故选：AC．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律的应用，要求同学们能正确分析小球得受力情况，能把N个小球看成一个整体处理，难度适中．