Question

“蹦极跳”是一项勇敢者的运动。跳跃者用弹性长绳一端绑在脚踝关节处，另一端固定在几十米高处，然后从该高处跳下。某人做蹦极运动时，从起跳开始计时，他对弹性长绳的弹力F随时间t变化规律，通过传感器用计算机绘制出如图所示的曲线。为研究方便，不计弹性长绳的重力，忽略跳跃者所受的空气阻力，并假设他仅在竖直方向运动，重力加速度g取10m/s²。问：

（1）根据图中信息，可推知该跳跃者所用弹性绳的原长大概有多长？

（2）根据图中信息，该跳跃者在此次跳跃过程中的最大加速度为多大？

（3）假设跳跃者的机械能都损耗于与弹性绳相互作用过程中，且每一次与弹性绳相互作用过程损耗的机械能都相同。试估算，为使该跳跃者第一次弹回时能到达与起跳点等高处，需要给他多大的初速度？

Answer 1

【解析】  （1）由图象可知，从起跳开始至弹性绳拉直所经时间为t₁ = 1.5s，

这一时间内跳跃者下落的距离即为弹性绳的原长，故其原长为L = gt₁² = 11.25m。（4分）

（2）由图象可知，运动员的重力为 mg = 500N，（2分）

弹性绳对跳跃者的最大弹力为 F_m = 1500N，（1分）

由牛顿第二定律得   F_m－mg = ma_m，（2分）

则运动员的最大加速度为    a_m = 20m/s²。（1分）

（3）弹性绳第一次被拉直时跳跃者的速度 v₁ = gt₁ = 15m/s。（1分）

由图象可知，从弹性绳第一次恢复原长至再次被拉直所经时间为

t₂ = (5.6－2.8)s = 2.8s，

弹性绳第二次被拉直时跳跃者的速度 v₂ = g· = 14m/s，（1分）

每一次弹性绳绷紧损耗的机械能为 ΔE = mv₁²－mv₂²（1分）

为使该跳跃者第一次弹回时能到达与起跳点等高处，所需初速度为v₀，

则有  mv₀² = ΔE，（2分）

代入数据得  v₀ = 5.4m/s（或m/s）。（1分）