Question

2．洛伦兹力演示仪可以演示电子在匀强磁场中的运动径迹．图甲为洛伦兹力演示仪实物图，图乙为结构示意图．演示仪中有一对彼此平行的共轴串联的圆形线圈（励磁线圈），当通过励磁线圈的电流为 I 时，线圈之间产生沿线圈轴向、磁感应强度 B=kI （k=1×10^-3T/A）的匀强磁场；半径 R=80mm 的圆球形玻璃泡内有电子枪，可通过加速电压 U 对初速度为零的电子加速并连续发射，电子刚好从球心 O 点正下方 40mm 处的 S 点沿水平向左射出．当励磁线圈的电流 I=1A，加速电压 U=160V 时，测得沿顺时针方向运动的电子流径迹直径 D=80mm．试问：

（1）励磁线圈的电流方向如何？为了使电子流径迹的半径增大，可采取哪些措施？
（2）由题中数据可求得电子的比荷$\frac{e}{m}$为多大？
（3）当励磁线圈的电流 I=0.7A 时，为使电子流形成完整的圆周运动，求加速电压的范围．
（4）若电子枪的加速电压可以在 0 到 250V 的范围内连续调节，且励磁线圈的电流从 0.5A 到 2A 的范围内连续调节．求玻璃泡上被电子击中范围的长度．

Answer 1

分析 （1）根据电子的径迹，电子做匀速圆周运动，洛伦兹力方向指向圆心，由左手定则判断励磁线圈中的电流产生的磁场方向，然后由安培定则判断励磁线圈中电流的方向；
（2）由动能定理求出电子进入磁场时的速度，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，联立求出电子的比荷；
（3）由动能定理$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，联立求出电压表达式，代入数据求出加速电压范围；
（4）求出电子做圆周运动的轨道半径，然后确定电子打在玻璃泡上的范围．

解答 解：（1）根据左手定则可知励磁线圈的电流产生的磁场方向垂直纸面向里，由安培定则知励磁线圈中电流方向为顺时针方向
根据电子运动的半径公式$R=\frac{mv}{qB}$，电子流径迹半径增大，可采取的措施是：增大电子速度（或增大电压），减小磁感应强度（或减小电流）
（2）电子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
电子在电子枪中加速，根据动能定理：$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
联立可以得到：$\frac{e}{m}=\frac{2U}{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$
其中$B=kI=1×1{0}_{\;}^{-3}×1=1×1{0}_{\;}^{-3}T$，$r=\frac{D}{2}=40mm=0.04m$
代入数据解得：$\frac{e}{m}=\frac{2×160}{（1×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}=2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）根据$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$可以得到：
$U=\frac{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}e}{2m}$=$\frac{（0.7×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}{2}×2×1{0}_{\;}^{11}$=86.24V，故电压范围为0～86.24V
（4）由qvB=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，根据题意B=kI，联立可解得：$r=\frac{\sqrt{\frac{2mU}{e}}}{kI}$，当电压取250V电流取0.5A时，半径最大，最大值r=10cm．此时电子达到C点，

在三角形OCO′中，由余弦定理：
$O′{C}_{\;}^{2}=O{C}_{\;}^{2}+OO{′}_{\;}^{2}+2OC•OO′cos∠COO′$
解得：$∠COO′=\frac{π}{2}$，当粒子的半径比较小的时候，与图中的D点相切，此时半径为6cm．

电子打到玻璃泡上的范围在CD之间长度为$\frac{πR}{2}=0.126m$
答：（1）励磁线圈的电流方向如何？为了使电子流径迹的半径增大，可采取措施有：增大电子速度（或增大电压），减小磁感应强度（或减小电流）
（2）由题中数据可求得电子的比荷$\frac{e}{m}$为$2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）当励磁线圈的电流 I=0.7A 时，为使电子流形成完整的圆周运动，加速电压的范围0～86.24V．
（4）若电子枪的加速电压可以在 0 到 250V 的范围内连续调节，且励磁线圈的电流从 0.5A 到 2A 的范围内连续调节．玻璃泡上被电子击中范围的长度0.126m

点评 本题考查了粒子在磁场中运动在实际生活中的应用，正确分析出仪器的原理是关键．要掌握粒子在磁场中运动问题的基本方法：定圆心、定半径、画轨迹．