Question

【题目】开普勒发现了行星运动的三大定律，分别是轨道定律、面积定律和周期定，这三大定律最 终使他赢得了“天空立法者”的美名，开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等即：

(1)若将行星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，圆周运动半径为 r，行星质量为 m 太阳质量为 M，如图所示，请你结合开普勒定律、圆周运动、牛顿定律等知识，证明太阳之间的引力与它们之间的质量的乘积成正比，距离平方成反比即：F引

(2)如图所示，人造地球卫星在 I 轨道做匀速圆周运动时，卫星距地面高度为 h=3R，R 为地球的半径， 卫星质量为 m，地球表面的重力加速度为 g，椭圆轨道的长轴 PQ=10R。

①a．求卫星在 I 轨道运动时的速度大小；

b．根据开普勒第三定律，求卫星在Ⅱ轨道运动时的周期大小；

②在牛顿力学体系中，当两个质量分别为 m1、m2 的质点相距为 r 时具有的势能，称为引力势能，其大小为 EP= (规定无穷远处势能为零)卫星在 I 轨道的 P 点点火加速，变轨到Ⅱ轨道

a．根据开普勒第二定律，求卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时，在近地点 P 与在远地点 Q 的速率之比

b．卫星在 I 轨道的 P 点，变轨到Ⅱ轨道，求则至少需对卫星做多少功(不考虑卫星质量的变化和所受 的阻力)。

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）①a. ；b. ；②a.4:1；b.

【解析】

（1）行星做圆周运动的向心力等于行星与恒星之间的引力： ；

根据开普勒第三定律可知：，带入可知： ；

根据牛顿第三定律可知，力的作用是相互的，可知 ；

综合两式可知： ；

（2）①a.根据万有引力等于向心力可得： ，且GM=gR2，

解得；

b.根据，结合 GM=gR2，

解得；

根据开普勒第三定律可知： ，

解得；

②a．根据开普勒第二定律，卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时， ，

则在近地点 P 与在远地点 Q 的速率之比等于PQ两点与地球连线的长度的倒数之比：

b.卫星在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒，在最远点和最近点满足：

，

解得，

则卫星在 I 轨道的 P 点变轨到Ⅱ轨道至少需对卫星做功：