Question

6．如图1所示，长直均匀光滑杆一端固定在光滑转轴O处，在水平杆的另一端A下摆经过的轨迹上安装光电门，用来测量A端的瞬时速度v_A，光电门位置和转轴O的高度差可以调节，有一质量m=1kg小球套在光杆上，重力加速度为g．
（1）若杆的质量忽略不计，小球固定在杆的中点处，由静止释放，请写出光电门测量到的速度v_A与高度差h的关系式．
（2）若杆的质量忽略不计，小球没有固定在杆上，仅套在杆上某一位置，则杆由静止释放后小球将做怎样的运动？小球下落H高度后脱离杆，则小球脱离高杆的瞬间速度多大？
（3）实际情况下杆的质量M不能忽略，拿走小球后重复实验，得到了如图2所示的v_A²所示与h关系图线，g取10m/s²，证明杆绕O点转动时的动能E_k=$\frac{1}{6}$Mv_A²．

Answer 1

分析 （1）只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解；
（2）小球做自由落体运动，可以得到杆的末位置与水平方向成60度角，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解；
（3）对杆运用动能定理列式求解即可，考虑重心位置的变化；即可证明．

解答 解：（1）由机械能守恒定律得：
$mg\frac{h}{2}=\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{A}}{2}）^{2}$
解得：${v}_{A}=2\sqrt{gh}$
（2）小球不固定时，小球将随杆下落的同时，在杆上滑动；由机械能守恒定律得：
$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得脱离时小球速度为：
$v=\sqrt{2gH}$
（3）由动能定理有：
$Mg\frac{h}{2}={E}_{k}$
由图象得：h=$\frac{1}{30}$v_A²
得：${E}_{K}=\frac{1}{6}M{v}_{A}^{2}$；
则可证；
答：（1）光电门测量到的速度v_A与高度差h的关系式为$2\sqrt{gh}$；
（2）小球沿杆滑动；脱离瞬间杆A端速度为$\sqrt{2gH}$；
（3）可证明杆绕O点转动的动能${E}_{K}=\frac{1}{6}M{v}_{A}^{2}$；

点评 本题关键是根据动能定理多次列式后分析讨论，要注意球同时参与两个分运动，沿杆方向的分运动和随着杆一起的转动．