Question

8．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将小球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB=∠COB=α，α小于10°且是未知量．图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息（g取10m/s²）求：

（1）单摆的周期和摆长；
（2）摆球的质量及摆动过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，求出单摆的周期．再根据单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$求出摆长．
（2）小球在最高点时绳子的拉力最小，在最低点时绳子拉力最大，求出最高点和最低点绳子拉力的表达式，再结合动能定理或机械能守恒定律求出摆球的质量和最大速度

解答 解：（1）摆球受力分析如图，小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知：
T=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$πs．
由单摆的周期公式为：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
得：L=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$═$\frac{10×（\frac{2\sqrt{2}}{5}{π}^{2}）}{4{π}^{2}}$=0.8m
（2）在最高点A，有：
F_min=mgcosα=0.495N----①
在最低点B，有：
F_max=mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$=0.510-----②
从A到B，滑块机械能守恒，有：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv^2----③
联立三式并代入数据得：
m=0.05kg；v=0.283m/s
答：（1）单摆的振动周期为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$πs，摆长为0.8m；
（2）摆球的质量为0.05kg；最大的速度为0.283m/s

点评 解决本题的关键掌握单摆的运动规律，知道单摆的周期公式，以及会灵活运用动能定理、牛顿定律解题