Question

10．弹跳杆运动是一项广受欢迎的运动．某种弹跳杆的结构如图甲所示，一根弹簧套在T型跳杆上，弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部．一质量为M的小孩站在该种弹跳杆的脚踏板上，当他和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧的压缩量为x₀．从此刻起小孩做了一系列预备动作，使弹簧达到最大压缩量3x₀，如图乙（a）所示；此后他开始进入正式的运动阶段．在正式运动阶段，小孩先保持稳定姿态竖直上升，在弹簧恢复原长时，小孩抓住跳杆，使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度，如图乙（b）所示；紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度，如图乙（c）所示；然后自由下落．跳杆下端触地（不反弹）的同时小孩采取动作，使弹簧最大压缩量再次达到3x₀；此后又保持稳定姿态竖直上升，…，重复上述过程．小孩运动的全过程中弹簧始终处于弹性限度内．已知跳杆的质量为m，重力加速度为g．空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计．

（1）在预备阶段，小孩从静止状态所在的A点开始下降至某点B，后又上升至压缩量为2x₀的C点的过程，设弹簧在B点处的压缩量为x_m（2x₀＜x_m＜3x₀），求小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W，并说明W与x_m无关；
（2）在整个预备动作阶段，为增加系统（小孩和弹跳杆）的机械能，求小孩至少需做的功W′；
（3）求正式运动阶段每个周期内，小孩至少需要给系统（小孩和弹跳杆）补充的能量E．

Answer 1

分析 （1）画出小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力与弹簧压缩量x对应的图象，根据F-x图的面积代表F所做的功的大小，求得弹力做的功W，列式分析．
（2）在整个预备动作阶段，小孩做的功等于其机械能的变化量与弹簧弹性势能变化量之和．
（3）正式运动阶段，当弹跳杆触地前瞬间，弹簧处于原长状态，由机械能守恒定律可知，小孩和弹跳杆的速度均为v₁．弹跳杆触地瞬间，杆的速度减为0，小孩保持v₁的速度．此后小孩以v₁的初速度向下压缩弹簧，由能量守恒可知，为使每个周期内弹簧的最大压缩量为3x₀，根据功能关系求解．

解答 解：（1）画出弹簧弹力F的大小与弹簧压缩量x关系图如图，F-x图的面积代表F所做的功的大小．

下降阶段，弹簧压缩量从x₀到x_m的过程，弹簧弹力做负功，为
W₁=-$\frac{1}{2}$（kx₀+kx_m）（x_m-x₀）=$\frac{1}{2}$kx₀²-$\frac{1}{2}$kx_m²．
上升阶段，弹簧压缩量从x_m到2x₀的过程，弹簧弹力做正功，为
W₂=+$\frac{1}{2}$[kx_m+k（2x₀）]（x_m-2x₀）=$\frac{1}{2}$kx_m²-$\frac{1}{2}$k（2x₀）²
则弹簧弹力做的功 W=W₁+W₂=$\frac{1}{2}$kx₀²-$\frac{1}{2}$kx_m²+$\frac{1}{2}$kx_m²-$\frac{1}{2}$k（2x₀）²=-$\frac{3}{2}$kx₀²，与x_m无关．
（2）由功能关系可知，在预备阶段，小孩至少需做的功W′应满足
W′=△E_k+△E_pG+△E_p弹=0+[-Mg（3x₀-x₀）]+[$\frac{1}{2}$k（3x₀）²-$\frac{1}{2}$kx₀²]=2Mgx₀
（3）正式运动阶段，当弹跳杆触地前瞬间，弹簧处于原长状态，由机械能守恒定律可知，小孩和弹跳杆的速度均为v₁．弹跳杆触地瞬间，杆的速度减为0，小孩保持v₁的速度．此后小孩以v₁的初速度向下压缩弹簧，由能量守恒可知，为使每个周期内弹簧的最大压缩量为3x₀，至少需要给（小孩和弹跳杆）系统补充的能量E满足
   E=△E_k+△E_pG+△E_p弹=[0-$\frac{1}{2}$Mv₁²]+[-Mg（3x₀）]+[$\frac{1}{2}$k（3x₀）²-0]=$\frac{3}{2}$[1-$\frac{{M}^{2}}{（M+m）^{2}}$]Mgx₀=$\frac{3（2M+m）Mmg{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$
答：（1）小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W为-$\frac{3}{2}$kx₀²，与x_m无关．
（2）小孩至少需做的功W′为2Mgx₀．
（3）正式运动阶段每个周期内，小孩至少需要给系统（小孩和弹跳杆）补充的能量E为$\frac{3（2M+m）Mmg{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$．

点评 本题考查机械能守恒定律的应用，要注意正确分析全过程，明确弹簧的弹性势能与重力势能之间的转化及守恒规律的应用，即注意能量转化的方向问题．