Question

18．如图是课外活动小组为某仓库设计的一个皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近，水平部分AB以5m/s的速率顺时针转动，将一工件轻放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，工件与传送带间的动摩擦因数均为0.5，其最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）．
（1）求工件被传送到B点的速度大小及从A到B所用的时间；
（2）若CD部分传送带不运转，求工件沿传送带所能上升的最大距离；
（3）若要工件能被传送到D端，求CD部分顺时针转动的速度大小应满足的条件及工件从C端到D端所用时间的取值范围．

Answer 1

分析 （1）工件放上传送带先做匀加速直线运动，求出工件达到传送带速度所需的时间和位移，判断工件在整个过程中的运动，从而根据运动学规律求出工件沿传送带从A运动到B的时间．
（2）由牛顿第二定律可求得工件的加速度，因工件的最大速度只能为5m/s，则应判断工件到达B点时是否已达最大速度，若没达到，则由位移与速度的关系可求得B点速度，若达到，则以5m/s的速度冲上CD；在CD面上由牛顿第二定律可求得工件的加速度，则由位移和速度的关系可求得上升的最大距离；
（3）工件在CD上应做减速运动，若CD的速度较小，则工件的先减速到速度等于CD的速度，然后可能减小到零，此为最长时间；而若传送带的速度较大，则工件应一直减速，则可求得最短时间；

解答 解：（1）工件在传送带AB上，与之有相对滑动时μmg=ma₁
a₁=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
达到共同速度所需时间为t₁
v₀=a₁t₁  
  t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{5}{5}$s=1s   
在1s内通过的位移为${s}_{1}=\frac{0+5}{2}×1m=2.5m$
故工件在AB传送带上先匀加速直线运动后做匀速直线运动速度v=v₀=5m/s，匀速运动所需时间为．
${t}_{2}=\frac{{L}_{1}-{s}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{3-2.5}{5}s=0.1s$
工件沿传送带从A运动到B的时间为
t=t₁+t₂=1s+0.1s=1.1s
（2）设工件在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得  a₂=10 m/s²
所以能滑上的最大距离 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}$═1.25m
（3）设CD部分运转速度为v₁时工件恰能到达D点（即工件到达D点时速度恰好为零），则工件速度减为v₁之前的加速度为a₃=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
工件速度小于v₁至减为零前的加速度为a₄=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由$\frac{{v}_{1}^{2}{-v}_{0}^{2}}{2{a}_{3}}+\frac{0{-v}_{1}^{2}}{2{a}_{4}}=4.45$
代入数据，解得 v₁=4m/s，即要把工件送到D点，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
工件恰能运到D点所用时间最长为t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{3}}+\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{4}}=\frac{4-5}{-10}+\frac{0-4}{-2}s=2.1s$
若CD部分传送带的速度较大，使工件沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，
则所用时间最短，此种情况工件加速度一直为a₄．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₄t²_min，
代入数据得：t_min=1.16s
所以，所求的时间t的范围为  1.16 s≤t≤2.1 s；
答：（1）工件被传送到B点的速度大小为5m/s，从A到B所用的时间为1.1s；
（2）若CD 部分传送带不运转，工件沿传送带所能上升的最大距离为1.25m．
（3）若要工件能被送到D 端，CD 部分顺时针运转的速度应满足大于等于4m/s，工件从C 端到D 端所用时间的取值范围为1.16 s≤t≤2.1 s．

点评 本题难点在于通过分析题意找出临条界件，注意工件在CD段所可能做的运动情况，从而分析得出题目中的临界值为到达D点时速度恰好为零；本题的难度较大．