Question

1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如下图（甲）所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，初速度为0，在加速器中被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。

（1）求粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；

（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t和粒子获得的最大动能E_km；

（3）近年来，大中型粒子加速器往往采用多种加速器的串接组合。例如由直线加速器做为预加速器，获得中间能量，再注入回旋加速器获得最终能量。n个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图（乙）所示（图中只画出了六个圆筒，作为示意)。各筒相间地连接到频率为f、最大电压值为U的正弦交流电源的两端。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔。现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间的缝隙处受到电场力的作用而加速（设圆筒内部没有电场）。缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计。已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v₁，且此时第一、二两个圆筒间的电势差₁－₂=－U。为为使打到靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量。

Answer 1

（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁，     qU=mv₁²      （1分）

qv₁B=m     （1分）                  解得： 

同理，粒子第2次经过狭缝后的半径则r₁:r₂  =1:         （2分）

（2）粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次。设粒子到出口处被加速了n次，

 nqU=     （2分）qv_mB=m　　得v_m=   （2分）

解得n=  带电粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的总时间t==  （2分）所以，粒子获得的最大动能E_km＝＝       （2分）

（3）为使正离子获得最大能量，要求离子每次穿越缝隙时，前一个圆筒的电势比后一个圆筒的电势高U，这就要求离子穿过每个圆筒的时间都恰好等于交流电的半个周期。由于圆筒内无电场，离子在筒内做匀速运动。设v_n为离子在第n个圆筒内的速度，则有

第n个圆筒的长度为                （2分）

     

第n个圆筒的长度应满足的条件为 （n=1，2，3，…2）（2分）

打到靶上的离子的能量为　（n=1，2，3，……）　（3分）