Question

9．相距很近的平行板电容器AB，A、B两板中心各开有一个小孔，如图甲所示，靠近A板的小孔处有一电子枪，能够持续均匀地发射出电子，电子的初速度为v₀，质量为m，电量为e，在AB两板之间加上图乙所示的交变电压，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$；紧靠B板的偏转电场的电压也等于U₀，板长为L，两板间距为d，偏转电场的中轴线（虚线）过A．B两板中心，距偏转极板右端$\frac{1}{2}$处垂直中轴线放置很大的荧光屏PQ，不计电子的重力和它们之间的相互作用，电子在电容器AB中的运动时间忽略不计．
（1）在0-T时间内，荧光屏上有两个位置发光，试求这两个发光点之间的距离（结果采用L、d表示，第2小题亦然）
（2）以偏转电场的中轴线为对称轴，只调整偏转电场极板的间距，要使荧光屏上只出现一个光点，极板间距应满足什么要求？
（3）撤去偏转电场及荧光屏，当k取恰当的数值时，使在0-T时间内通过电容器B板的所有电子能在某一时刻形成均匀分布的一段电子束，求k的值．

Answer 1

分析 （1）在0-kT时间内，根据动能定理求出电子穿出B板后的速度，在偏转电场中，电子做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式得到偏转距离．根据推论：电子射出偏转电场后，好像从“中点射出”，得到打在荧光屏上的坐标．再运用同样的方法求出在kT-T 时间内，电子打在荧光屏上的坐标，即可求得这两个发光点之间的距离．
（2）考虑到临界条件，当极板间距为d′时，电子刚从偏转极板边缘飞出，荧光屏上只出现一个光点，由上题结果求出极板间距应满足什么要求．
（3）要求在某一时刻形成均匀分布的一段电子束，前后两段电子束的长度必须相等，分别得到电子束长度的表达式，根据相等关系即可求得k．

解答 解：（1）电子经过电容器内的电场后，速度要发生变化．在0-kT时间内，设穿出B板后速度变为${v}_{1}^{\;}$，由动能定理得：
$-e{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
将${U}_{0}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$
代入后解得：${v}_{1}^{\;}$=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}^{\;}}{m}}$
在偏转电场中，电子运动时间${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{{v}_{1}^{\;}}$，
侧移量${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$，
解得：${y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
根据偏转电场中的推论“似是中点来”其打在荧光屏上的坐标${y}_{1}^{′}=2{y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{4d}$
在 kT～T时间内，穿出B板后速度变为${v}_{2}^{\;}$，同理可得，
${v}_{2}^{\;}=\frac{8e{U}_{0}^{\;}}{m}=\sqrt{2}{v}_{1}^{\;}$，${y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{16d}$，${y}_{2}^{′}=2{y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
荧光屏上两个发光点之间的距离$△y={y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）考虑到临界条件，当极板间距为d′时，电子刚从偏转极板边缘飞出，则有$\frac{1}{2}d′=\frac{1}{2}a′{t}_{\;}^{2}$
又$a′=\frac{F}{m}=\frac{e{U}_{0}^{\;}}{md′}$，$t=\frac{L}{v}$
整理得，$d{′}_{\;}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{\;}^{2}}$
对于速度${v}_{1}^{\;}$时，${d}_{1}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{1}^{2}}}=\frac{1}{2}L$；对于速度${v}_{2}^{\;}$时，${d}_{2}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{2}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}L$
只调整偏转电场极板的间距（仍以虚线为对称轴），要使荧光屏上只出现一个光点，极板间距应满足：$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）要求在某一时刻形成均匀分布的一段电子束，前后两段电子束的长度必须相等（且刚好重叠），第一束长度：${l}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}•kT$；第二束长度：${l}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}•（T-kT）$；
当${l}_{1}^{\;}={l}_{2}^{\;}$时，即${v}_{1}^{\;}•kT=2{v}_{1}^{\;}（1-k）T$
解得$k=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2-\sqrt{2}$
答：（1）在0-T时间内，荧光屏上有两个位置发光，这两个发光点之间的距离$\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）以偏转电场的中轴线为对称轴，只调整偏转电场极板的间距，要使荧光屏上只出现一个光点，极板间距应满足要求$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）撤去偏转电场及荧光屏，当k取恰当的数值时，使在0-T时间内通过电容器B板的所有电子能在某一时刻形成均匀分布的一段电子束，k的值为$2-\sqrt{2}$

点评 本题利用带电粒子在匀强电场中的类平抛运动及其相关知识列方程进行解答，关键要分析出临界条件和隐含的条件．