Question

9．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L；若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R．若在该星球上发射卫星，使卫星绕该星球做圆周运动，求其第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住两次平抛运动水平位移的关系，求出重力加速度的大小，结合重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得右图：
L²=h²+（vt）²
（$\sqrt{3}$L）²=h²+（2vt）²
又h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
联立解得g=$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$．
由万有引力定律与牛顿第二定律，得：$mg=m\frac{v^2}{R}$，式中m为卫星的质量．
联立以上各式，解得：$v=\sqrt{\frac{{2\sqrt{3}RL}}{{3{t^2}}}}$．
答：第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}RL}{3{t}^{2}}}$．

点评 本题考查了平抛运动和万有引力定律理论的综合运用，通过平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度是关键．