Question

20．两块平行金属板MN、PQ水平放置，两板间距为d、板长为l，在紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，三角形底边BC与PQ在同一水平线上，顶点A与MN在同一水平线上，如图所示．一个质量为m、电量为+q的粒子沿两板中心线以初速度v₀水平射入，若在两板间加某一恒定电压，粒子离开电场后垂直AB边从D点进入磁场，BD=AB/4，并垂直AC边射出（不计粒子的重力）．求：

（1）两极板间电压；
（2）三角形区域内磁感应强度；
（3）若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向外．要使粒子进入磁场区域后能从AB边射出，试求所加磁场的磁感应强度最小值．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系，可求速度间的关系，从而即可求解；
（2）由几何关系，结合运动的半径公式，从而可确定磁场的大小，由运动轨迹，结合左手定则可确定磁场的方向；
（3）由粒子刚好与BC边相切时，磁感应强度最小，并根据牛顿第二定律与几何关系，从而即可求解．

解答 解：（1）垂直AB边进入磁场，由几何知识得：粒子离开电场时偏转角为30°，因为：${v_y}=\frac{qu}{md}.\frac{l}{v_0}$
$tgθ=\frac{v_y}{v_0}$
得：$u=\frac{{\sqrt{3}mdv_0^2}}{3ql}$
（2）由几何关系得：${l_{AB}}=\frac{d}{{cos{{30}^0}}}$
在磁场中运动半径${r_1}=\frac{3}{4}{l_{AB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}d$
所以有：${B_1}q{v_{\;}}=\frac{{mv_{\;}^2}}{r_1}$$v=\frac{v_0}{cos30°}$
得：${B_1}=\frac{{4m{v_0}}}{3qd}$
方向垂直纸面向里
（3）当粒子刚好与BC边相切时，磁感应强度最小，由几何知识知粒子的运动半径r₂为：${r_2}=\frac{d}{4}$
${B_2}q{v_0}=\frac{mv_0^2}{r_2}$
得：${B_2}=\frac{{4m{v_0}}}{qd}$
即：磁感应强度的最小值为$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$
答：（1）两极板间电压$u=\frac{{\sqrt{3}mdv_0^2}}{3ql}$；
（2）三角形区域内磁感应强度${B_1}=\frac{{4m{v_0}}}{3qd}$；
（3）若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向外．要使粒子进入磁场区域后能从AB边射出，则所加磁场的磁感应强度最小值为$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$．

点评 考查粒子在磁场中运动，结合牛顿第二定律与几何关系来综合应用，掌握运动轨迹的半径与周期公式．