Question

16．如图所示，光滑轨道ABCBO在同一竖直平面内，AB段为半径为R的四分之一圆弧，圆心在O点，该圆弧与圆轨道BCB及半椭圆形轨道BO相切于B点，现让一质量为m的小球以向下的初速度v₀从A点进入轨道，结果在C点对圆轨道的压力为F，在O点对轨道的压力恰好为零．
（1）求圆轨道BCB的半径r₁；
（2）求椭圆轨道在O点的曲率半径r₂；
（3）若轨道表面是粗糙的，让小球以2v₀的向下速度从A点进入轨道，结果小球从O点抛出后恰好打在AB弧段的中点，则小球在O点对轨道的压力为多大？此过程克服摩擦力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）轨道是光滑的，从A点到C点，由机械能守恒定律列式．在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律列式，联立可求圆轨道BCB的半径r₁；
（2）根据机械能守恒可知，小球运动到O点时速度大小为v₀，在O点，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求椭圆轨道在O点的曲率半径r₂；
（3）小球从O点抛出后做平抛运动，由平抛运动的规律求出O点的速度，在O点，由牛顿定律求小球在O点对轨道的压力．从A点到O点根据动能定理求克服摩擦力做功．

解答 解：（1）由于轨道是光滑的，从A点到C点，由机械能守恒定律有：
   $\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mgR=2mgr₁+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律有：
  F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}+2mgR}{F+5mg}$
（2）根据机械能守恒定律可知，小球运动到O点时速度大小为v₀．由于小球在O点对轨道的压力为零，有：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
得：r₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
（3）小球从O点抛出后做平抛运动，
水平方向有  $\frac{\sqrt{2}}{2}$R=v₂'t
竖直方向有  $\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{1}{2}$gt²
在O点，由牛顿第二定律有：F'+mg=m$\frac{{v}_{2}{'}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：F'=（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg
所以由牛顿第三定律得小球对轨道的压力为：F=F'=（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg
从A点到O点根据动能定理有：
W=$\frac{1}{2}$m（2v₀）²-$\frac{1}{2}$mv₂'²
解得：W=2m${v}_{0}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}mgR}{8}$
答：（1）圆轨道BCB的半径r₁是$\frac{m{v}_{0}^{2}+2mgR}{F+5mg}$．
（2）椭圆轨道在O点的曲率半径r₂是$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$．
（3）小球在O点对轨道的压力为（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg，此过程克服摩擦力做功为2m${v}_{0}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}mgR}{8}$．

点评 本题要认真分析物体的运动过程和状态，在圆轨道和椭圆上某一状态，运用牛顿定律研究．两个状态之间速度的关系运用动能定理或机械能守恒定律研究．