Question

14．如图所示，MN、PQ为光滑平行的水平金属导轨，电阻R=3.0Ω，置于竖直向下的有界匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁场磁感应强度B=1.0T，导轨间距L=1.0m，质量m=1.0kg的导体棒垂直置于导轨上且与导轨电接触良好，导体棒接入电路的电阻为r=1.0Ω．t=0时刻，导体棒在水平拉力作用下从OO′左侧某处由静止开始以加速度a₀=1.0m/s²做匀加速运动，t₀=2.0s时刻棒进入磁场继续运动，导体棒始终与导轨垂直．
（1）求0～t₀时间内棒受到拉力的大小F₀及t₀时刻进
入磁场时回路的电功率P₀．
（2）求导体棒t₀时刻进入磁场瞬间的加速度a；若此后棒在磁场中以加速度a做匀加速运动至t₁=4s时刻，求t₀～t₁时间内通过电阻R的电量q．
（3）在（2）情况下，已知t₀～t₁时间内拉力做功W=5.7J，求此过程中回路中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）在OO'左侧导体棒在拉力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求得导体棒所受拉力大小，再根据速度时间关系求得导体棒进入磁场的速度大小，由E=BLv求得感应电动势，再根据功率表达式求得回路的电功率；
（2）根据F=BIL和I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$求得刚进入磁场时的安培力的大小，再根据牛顿第二定律求得导体棒刚进入磁场时的加速度，由加速度求得导体棒在4s内的位移，再根据q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$求得通过电阻R的电量；
（3）对于导体棒在t₀～t₁时间内有拉力和安培力做功，根据动能定理求得安培力做功，而克服安培力所做的功等于回路中产生的焦耳热，据此计算即可．

解答 解：（1）设导体棒在进入磁场前运动的加速度为a₀，则
F=ma₀
棒在t₀时刻速度  v₀=a₀t₀
棒在t₀时刻产生的电动势  E=BLv₀     
电功率${P}_{0}=\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{（{BL{v}_{0}）}^{2}}{R+r}=\frac{（1×1×2）^{2}}{3+1}W$=1.0W
（2）回路在t₀时刻产生的感应电流 $I=\frac{E}{R+r}$
棒在t₀时刻受到的安培力F_A=BIL
根据牛顿定律有  F-F_A=ma
代入数据解得  a=$\frac{F-{F}_{A}}{m}$═$\frac{m{a}_{0}-B\frac{Bl{v}_{0}}{R+r}l}{m}$=$\frac{1×1-1×\frac{1×1×2}{3+1}×1}{1}m/{s}^{2}$=0.5m/s²
导体棒在t₁时间内的位移$x={v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}a（{t}_{1}-{t}_{0}）^{2}$=$2×（4-2）+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（4-2）^{2}m$=5m
则在t₀-t₁时间内通过导体棒的电荷量q=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{B△S}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}=\frac{1×1×5}{3+1}C=1.25C$
（3）t₁时刻棒的速度 v=v₀+a（t₁-t₀） 
由动能定理有$W+{W}_{A}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
Q=-W_A=$W-\frac{1}{2}m（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）=5.7-\frac{1}{2}×1×（{3}^{2}-{2}^{2}）J$=3.2J
答：（1）求0～t₀时间内棒受到拉力的大小F₀及t₀时刻进入磁场时回路的电功率P₀为1.0W；
（2）导体棒t₀时刻进入磁场瞬间的加速度a为0.5m/s²；若此后棒在磁场中以加速度a做匀加速运动至t₁=4s时刻，求t₀～t₁时间内通过电阻R的电量q为1.25C．
（3）在（2）情况下，已知t₀～t₁时间内拉力做功W=5.7J，此过程中回路中产生的焦耳热Q为3.2J．

点评 本题是电磁感应与电路、运动学相结合的综合题，分析清楚棒的运动过程、由图象找出某时刻所对应的电流、应用相关知识，是正确解题的关键．