Question

6．火星绕太阳公转的半径为r₁，是地球绕太阳公转半径r₂的1.5倍，地球的公转周期T₂=365天，则火星的公转周期T₁是多少天？如果火星与地球的半径之比为R₁：R₂=1：3，火星与太阳间的引力与地球和太阳间的引力之比F₁：F₂=4：81，求火星与地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂为多少？（设公转轨道看作圆周，只考虑太阳对火星和太阳对地球的作用）

Answer 1

分析 研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力，列出等式再去进行比较周期．根据万有引力等于重力表示出重力加速度，再去进行比较．

解答 解：1．研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力得出：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$
得：$T=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，M为太阳的质量，R为轨道半径．
火星的轨道半径是地球的轨道半径的1.5倍，则：${T}_{1}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{2}}}•{T}_{2}=\sqrt{1．{5}^{3}}×365=670.5$天
2．根据万有引力定律的表达式：$F=\frac{GMm}{{r}^{2}}$得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{\frac{{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac{{m}_{2}}{{r}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{2.25}•\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$  ①
又：F₁：F₂=4：81，所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{9}$  ②
火星与地球的半径之比为R₁：R₂=1：3，
由体积公式：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，质量公式：m=ρV
所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}{{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}=\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}•\frac{1}{27}$  ③
联立②③得：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{3}{1}$
答：火星的公转周期T₁是670.5天；火星与地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂为3：1．

点评 该题结合对万有引力的考查，比较地球与火星的一些相关的数据，要比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行比较即可．