Question

如图所示，足够长的间距为L=0.2m光滑水平导轨EM、FN与PM、QN相连，PM、QN是两根半径为d=0.4m的光滑的

1

4

圆弧导轨，O、P连线水平，M、N与E、F在同一水平高度，水平和圆弧导轨电阻不计，在其上端连有一阻值为R=8Ω的电阻，在PQ左侧有处于竖直向上的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B₀=6T．现有一根长度稍大于L、质量为m=0.2kg、电阻为r=2Ω的金属棒从轨道的顶端P处由静止开始下滑，到达轨道底端MN时对轨道的压力为2mg，取g=10m/s²，求：
（1）棒到达最低点MN时金属棒两端的电压；
（2）棒下滑到MN过程中金属棒产生的热量；
（3）从棒进入EM、FN水平轨道后开始计时，磁场随时间发生变化，恰好使棒做匀速直线运动，求磁感应强度B随时间变化的表达式．

Answer 1

（1）金属棒在导轨最低点MN处，由重力和轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律得：
N-mg=m

v2

d

，且N=2mg
解得：v=

gd

=

10×0.4

m/s=2m/s
金属棒产生的电动势 E=B₀Lv
金属棒两端的电压 U=

R

R+r

E
联立得：U=1.92V
（2）由能量守恒得：mgd=

1

2

mv2+Q
金属棒产生的热量：Qr=

r

R+r

Q
联立得：Q_r=0.08J
（3）因为棒做匀速直线运动，故棒和电阻R组成的回路磁通量不变
在t=0时刻，回路磁通量Ф₀=B₀Ld
在t时刻，回路磁通量Ф=BL（d+vt）
由Ф₀=Ф可得：B=

B0d

d+vt

=

6×0.4

0.4+2t

=

6

1+5t

（T）
答：（1）棒到达最低点MN时金属棒两端的电压为1.92V；（2）棒下滑到MN过程中金属棒产生的热量为0.08J；（3）磁感应强度B随时间变化的表达式为B=

6

1+5t

T．