Question

15．某游乐场中一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：如图所示，轨道ABCD位于竖直平面内，水平轨道AB与竖直半圆轨道BCD相切于B点，C点与圆心O等高，质量m=10kg的小车Q（可视为质点）静止在水平轨道上的点A，已知A点与B点相距L=40m（图中AB之间的虚线表示未画完整的水平轨道），竖直圆轨道的半径R=3m，圆弧光滑；小车在水平轨道AB间运动时受到的阻力恒为其重力的0.25倍．其它摩擦与空气阻力均忽略不计．（g取10m/s²）
（1）若小车在水平轨道上运动时受到水平向右的恒力F的作用，使小车恰好能到达半圆轨道的C点，求恒力F的大小．
（2）若小车在适当的拉力作用下，恰好能到达竖直半圆轨道的最高点D，求小车经过半圆轨道B点时受到的支持力大小．
（3）若小车用自带的电动机提供动力，电动机输出功率恒为P=50W，要使小车不脱离轨道，求发动机工作时间t需满足的条件（设经过所求的时间，小车还没到B点）．

Answer 1

分析 （1）对于AC过程，运用动能定理列式，可求得F的大小．
（2）小车恰好能到达竖直半圆轨道的最高点D，在D点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得D点的速度．B到D过程，由机械能守恒定律求出小车通过B点的速度．再由牛顿第二定律求小车经过半圆轨道B点时受到的支持力大小．
（3）小车不脱离轨道有两种情况：一是小车上升的高度不超过C点．二是能通过最高点D，根据临界条件和动能定理结合解答．

解答 解：（1）从A到C，由动能定理可得：
FL-μmgL-mgR=0-0
代入数据解得：F=32.5N
（2）小车恰好能到达竖直半圆轨道的最高点D，在D点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
小车由B点运动到D点的过程中，由机械能守恒定律得：
 $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{5gR}$
小车经过半圆轨道B点时，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
代入数据解得：F=600N
（3）小车不脱离轨道情景一：小车上升的高度不超过C点．
临界情况，小车恰好到达C点．
AC过程列动能定理得：Pt₁-μmgL-mgR=0-0
代入数据得：t₁=26s
不脱离轨道情景二：小车能上升到最高点D，临界情况需满足：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
A到D过程列动能定理得：
Pt₂-μmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²．
解得 t₂=35s
所以发动机工作时间t需满足的条件是t₁≤26s或者t₂≥35s．
答：（1）恒力F的大小为32.5N．
（2）小车经过半圆轨道B点时受到的支持力大小是600N．
（3）发动机工作时间t需满足的条件是t₁≤26s或者t₂≥35s．

点评 本题主要考查了动能定理，在第三问中，抓住沿轨道运动：不能到达最高点，在C点下方速度减到零，或者到达最高点做圆周运动，再结合动能定理即可研究．