Question

12．如图甲所示，固定粗糙斜面倾角为θ，一劲度系数为k的轻弹簧一端连在斜面底端的挡板上，当弹簧处于原长时，另一端刚好在斜面上的A点．现用一可视为质点、质量为m的物块沿斜面向下压弹簧至B点，且AB间距离为L，然后由静止释放物块，物块沿斜面向上运动的v-t图象如图乙所示，其中t₂-t₃间图象是一条直线．已知重力加速度为g，图中数据均为已知量．求：

（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）弹簧被压缩时具有的最大弹性势能E_ρ；
（3）0-t₁时间内弹簧的弹力做的功W．

Answer 1

分析 （1）t₂-t₃间的图象是一条直线，说明物块向上做匀减速直线运动，由速度公式即可求出加速度，然后结合受力分析即可求出动摩擦因数；
（2）0-t₂时间内弹簧做的功转化为物块的动能与势能，结合功能关系即可求出弹簧被压缩时具有的最大弹性势能E_ρ；
（3）由功能关系求出在t₁时刻弹簧的弹性势能，结合功能关系即可求出0-t₁时间内弹簧的弹力做的功W．

解答 解：（1）由图可知，t₂-t₃间物块向上做匀减速直线运动，则加速度：
a=$\frac{△v}{△t}=\frac{0-{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}$
t₂-t₃间物块向上做匀减速直线运动，物块的加速度不变，则物块只受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面方向：
ma=-mgsinθ-μmgcosθ
联立得：μ=$\frac{gsinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}}{gcosθ}$
（2）结合以上的分析可知，在t₂时刻物块开始做匀减速直线运动，说明t₂时刻物块恰好到达A点，0-t₂时间内弹簧的弹性势能恰好都转化为物块的动能、重力势能和内能，则：
${E}_{P}=mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+μmgcosθ•L=$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$
（3）由图可知，在t₁时刻物块的速度最大，可知在t₁时刻物块受到的合外力恰好为0，即：
k△x=mgsinθ+μmgcosθ
t₁-t₂时间内只有重力、弹簧的弹力和摩擦力做功，由功能关系可得：
${E}_{P}′+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg△x•sinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+μmgcosθ•△x
0-t₁时间内弹簧的弹力做的功等于弹簧减少的弹性势能，即：
W=△E_P=E_P-E_P′
联立得：W=$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$$-\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}（2sinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}）^{2}$
答：（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ是$\frac{gsinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}}{gcosθ}$；
（2）弹簧被压缩时具有的最大弹性势能是$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$；
（3）0-t₁时间内弹簧的弹力做的功W是$2mgLsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{m{v}_{2}L}{{t}_{3}-{t}_{2}}$$-\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}（2sinθ-\frac{{v}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}）^{2}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、动能定理和运动学公式的综合运用，关键结合图象理清滑块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．