Question

15．如图1所示，光滑曲面AB与水平传送带BC在B处恰好平滑连接，质量m=1kg的物块从A点由静止滑下，当传送带静止不动时，物块最终停在距B点x=2.5m处的传送带上，调整皮带轮的运动角速度ω可以改变物块到达C点时的速度大小．已知A、B两点的竖直距离h=1.25m，BC长L=20m，皮带轮的半径R=0.1m，物块视为质点，传送带始终张紧且不打滑，取g=10m/s²．

（1）求物块运动至B点时的速度大小．
（2）求物块与传送带之间的动摩擦因数．
（3）让传送带顺时针转动，设物块到达C点的速度大小为v_C，试画出图2v_C随皮带轮角速度ω变化关系的v_C-ω图象．

Answer 1

分析 （1）由A到B过程满足机械能守恒定律，用机械能守恒定律即可求物块运动至B点时的速度大小；
（2）传送带静止不动，物块做减速运动直至停止根据动能定理可以求出动摩擦因数；
（3）让传送带顺时针转动速度为v，传送带速度较小时，v_C=v；传送带速度较大时，v_C=15m/s．

解答 解：（1）由A到B过程满足机械能守恒定律$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，即${v}_{B}=\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.25}=0.5\\;m/s$m/s．
（2）传送带静止不动，物块做减速运动直至停止，则根据动能定理可-$μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，即$μ=\frac{{v}_{B}^{2}}{2gx}$=$\frac{0．{5}^{2}}{2×10×2.5}=0.5$．
（3）当传送轮顺时针转动，物块在传送带上一直加速到右端C，达到最大速度v_C，则根据动能定理可得：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
即${v}_{C}^{2}=2μgL+{v}_{B}^{2}$
解得v_C=$\sqrt{2×0.5×10×20+0．{5}^{2}}=15m/s$，
又v_C=ωR，解得ω=150rad/s．
若传送带的v≥15m/s，即ω≥150rad/s，物块一直加速，且v_C=15m/s；
若传送带的速度0＜v＜15m/s，即0＜ω＜150rad/s，则物体到达C的速度v_C=v，
即v_C=ωR=0.1ω．v_C随皮带轮角速度ω变化关系的v_C-ω图象如下图．

答：（1）求物块运动至B点时的速度大小为5m/s．
（2）求物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5．
（3）让传送带顺时针转动，设物块到达C点的速度大小为v_C，v_C随皮带轮角速度ω变化关系的v_C-ω图象如图所示．

点评 本题关键是先求出物块一直加速的速度v，该速度即是传送带的临界速度．传送带速度大于v则物块一直加速，传送带速度小于v则物块先加速再匀速．