Question

【题目】研究小车运输能力的装置可简化为如图所示的情形，AB为一段光滑弧固定轨道，PQ为光滑半圆弧固定轨道，圆弧半径r=0.2m，水平面光滑．BP长S＝3.8m。一长为L=2.8m、质量为M=1kg的平板小车最初停在弧轨道B处，小车上表面略低于B点，且与PQ轨道最低点处于同一水平面。可视为质点、质量为m=4kg的滑块间断从距B点高h＝3.2m同一处沿轨道静止滑下，第一块滑块滑上小车后带动小车也向右运动，小车压缩P点下方长度不计的轻弹簧，待滑块离开小车后，小车被弹回原速向左运动，滑块与小车的动摩擦因数为μ=0.8，取g=10m/s2 。

（1）求小车第一次到达P点时的速度大小；

（2）通过计算判断第一块滑块是否滑到Q点；

（3）小车第一次被弹回，当小车左端到达B点时，第二块滑块恰好也运动到B点冲上小车，试判断滑块是否滑离小车，若滑离请求滑块滑出小车时的速度大小。若不滑离，请求小车第二次到P点时的速度大小和第二块滑块滑到Q点时对轨道的压力大小。

Answer 1

【答案】（1）6.4m/s（2）第一块滑块不能滑到Q点（3）260N

【解析】试题分析：根据机械能守恒定律可得滑到低端的速度，根据动量守恒和牛顿第二定律可得小车第一次到达P点时的速度大小；滑块恰能到达Q点，根据牛顿第二定律求出速度，求出第一块滑块在小车上滑行的相对距离，根据能量守恒定律判断第一块滑块是否滑到Q点；根据动量守恒定律求出共同的速度，在由能量守恒定律求出距离，判断出能否滑出小车，第二块滑块滑到Q点，由向心力公式，求出得第二块滑块滑到Q点时对轨道的压力大小。

（1）对滑块，根据机械能守恒定律可得：

代入数据解得： v0=8m/s

对滑块和小车，由动量守恒定律，得mv0=(m+M)v1

解得：v1=6.4m/s

对滑块，由牛顿第二定律，得 μmg=ma1

解得： a1=8m/s2

由运动学公式可得：

解得：x1＝1.44m

对小车，由牛顿第二定律，得mg=Ma2

解得：a2=32m/s2

由运动学公式，得

解得：x2=0.64m<S-L

小车和滑块共速后到达P点。小车第一次到达P点时的速度大小为 v1=6.4m/s

（2）滑块恰能到达Q点，根据牛顿第二定律：

解得：vQ＝

第一块滑块在小车上滑行的相对距离为：x1=x1-x2=0.8m

由能量守恒定律得：

解得： ，故第一块滑块不能滑到Q点。

（3）小车第一次被弹回B点时，对第二块滑块和小车，

由动量守恒定律，得mv0－Mv1=(m+M)v2

解得：v2 =5.12m/s

由能量守恒定律，得

解得：L1＝2.6m<L

故第二块滑块不会滑离小车。

分析易知第二块滑块和小车共速时，小车末到达P点，

故小车第二次到P点时的速度大小为v2 =5.12m/s .

第二块滑块在小车上滑行的相对距离：

由能量守恒定律，得

解得：vQ2

第二块滑块滑到Q点，由向心力公式，得FN+mg=

解得：FN=260N

由牛顿第三定律，得第二块滑块滑到Q点时对轨道的压力大小FN=260N