Question

10．如图所示，半径为R=0.1m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m=0.5kg的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为37°．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω₀；
（2）当ω=10rad/s时，此时物块受到的摩擦力是多少？

Answer 1

分析 （1）小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，结合角速度的大小；
（2）当角速度为ω=10rad/s时，由重力、支持力和摩擦力的合力提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当ω=ω₀时，小物块受到的摩擦力恰好为零，只受重力和支持力作用，靠重力和支持力的合力提供向心力，如下图，根据牛顿第二定律有：

  F_合=mgtanθ…①
  F_向=mω₀²r…②
而r=Rsin θ，F_合=F_向 …③
由①②③得ω₀=125rad/s…④
（2）当ω=10rad/s时，摩擦力的方向沿罐壁的切线方向向上．建立如下图所示的坐标．

在竖直方向上，有 F_Ncosθ+F_fsinθ-mg=0
在水平方向上，有 F_Nsinθ-F_fcosθ=mrω²
由几何关系知，r=Rsinθ
解得：F_f=2.6N
答：（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度ω₀为125rad/s
（2）当ω=10rad/s时，此时物块受到的摩擦力是2.6N

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．