Question

20．有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k=40N/m的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m=1kg的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ=0.2，开始时弹簧未发生形变，长度为L=0.5m，求：
（1）盘的转速n₀多大时，物体A开始滑动？（结果用π表示）
（2）当转速达到2n₀时（在弹性限度内），弹簧的伸长量是多少？

Answer 1

分析 （1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω₀．
（2）当角速度达到2ω₀时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x．

解答 解：若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力．
（1）当圆盘转速为n₀时，A即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有：
$μmg=mL{{ω}_{0}}^{2}$，
又因为：ω₀=2πn₀，
解得${n}_{0}=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{μg}{L}}$=$\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{2}{0.5}}=\frac{1}{π}rad/s$．
当圆盘转速达到2n₀时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，
即：$μmg+k△x=mr{{ω}_{1}}^{2}$，
而：ω₁=2π×2n₀，
r=L+△x
解得：△x=$\frac{3μmgL}{kL-4μmg}$=$\frac{3×0.2×10×0.5}{40×0.5-4×0.2×10}=0.25m$．
答：（1）盘的转速n₀为$\frac{1}{π}$rad/s时，物体A开始滑动；
（2）当转速达到2n₀时（在弹性限度内），弹簧的伸长量是0.25m．

点评 当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．