Question

如图所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角为θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长L₁=1m，bc的边长L₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近．重物质量M=2kg，离地面的高度为H=4.8m．斜面上efgh区域是有界匀强磁场，方向垂直于斜面向上，已知AB到ef的距离为s₁=4.2m，ef到gh的距离为s₂=0.6m，gh到CD的距离为s₃=3.8m，取g=10m/s²．现让线框从静止开始运动（开始时刻cd与AB边重合），发现线框匀速穿过匀强磁场区域，求：

（1）efgh区域内匀强磁场的磁感应强度B
（2）线框在通过磁场区域过程中产生的焦耳热Q
（3）通过计算分析画出线框从开始运动到ab边与CD边重合过程中线框的v-t图象．

Answer 1

分析：（1）根据受力平衡，结合安培力的大小，即可求解；
（2）根据功能关系列式求热量；
（3）本题要分过程求线框的速度，再作出图象．首先，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef线重合过程中，线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动，采用隔离法，由牛顿第二定律求出两个物体的加速度，由运动学公式求出ab恰好要进入磁场时的速度，或根据动能定理列式求ab恰好要进入磁场时的速度．根据计算得知线框进入磁场后做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止，此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求cd边离开CD的速度，即可作出图象．

解答：解：（1）ab在磁场中运动所受安培力，F=BIL₁=

B2 L 2 1 v0

R

根据受力平衡，则有：Mg=F+mgsinθ                  
解得：B=0.5T    
（2）由能量守恒：Q=2Mg?S₂-2mg?S₂?sinθ=18J                        
（3）如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中，线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动．
设ab恰好要进入磁场时的速度为v₀，对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理：Mgs₁-mgs₁sinθ=

1

2

（M+m）v

2 0

解得：v₀=

2gs1(M-msinθ) M+m

=

2×10×(4.2-0.6)(2-0.5) 3

=6m/s 
该过程的时间为：t₁=

s1

. v1

=

4.2-0.6

6 2

=1.2s
ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流，所以线框受到沿斜面向下的安培力作用：F_A=BIL₁；
故此时，F_合=Mg-mgsinθ-F_A=20-10×0.5-

0．52×12×6

0.1

=0
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止．t₂=

2L2

v0

=

1.2

6

s=0.2s                                         
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，设线框的cd边到达CD线
的速度为v₁，则对线框有：-mgs2sinθ=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²；
得v₁=

v 2 0 -2gs2sinθ

=2m/s
  t₃=

s2

v0+v1 2

=

3.2

6+2 2

s=0.8s 
则线框的速度--时间图象如右图
答：
（1）efgh区域内匀强磁场的磁感应强度0.5T；
（2）线框在通过磁场区域过程中产生的焦耳热18J；
（3）通过计算分析画出线框从开始运动到ab边与CD边重合过程中线框的v-t图象，如上图所示．

点评：本题要能根据线框的受力情况，分析其运动过程，再选择力学和电磁学的规律求解．考查受力平衡条件、能量守恒定律、牛顿第二定律及运动学公式、法拉第定律、欧姆定律、安培力等等众多知识，综合较强．