Question

19．如图甲所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接R=1.5Ω的电阻；质量为m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为d=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于匀强磁场中，该匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示．前4s内为B=kt．前4s内，为保持ab棒静止，在棒上施加了一平行于导轨平面且垂直于ab棒的外力F，已知当t=2s时，F恰好为零．若g取10m/s²，求：

（1）磁感应强度大小随时间变化的比例系数k；
（2）t=3s时，电阻R的热功率P_R；
（3）从第4s末开始，外力F拉着导体棒ab以速度v沿斜面向下做匀速直线运动，且F的功率恒为P=6W，求v的大小．

Answer 1

分析 （1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得到电流的表达式．根据ab棒静止，受力平衡，t=0时刻F=0，列式求k；
（2）结合上题的结果求出t=3s时电路中的电流I，由公式P=I²R求电阻R的热功率P_R；
（3）根据从第4s末开始，外力F拉着导体棒ab以速度v沿斜面向下作匀速直线运动，合力为零，由P=Fv求外力F，由平衡条件列式，求v．

解答 解：（1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律得回路中产生的感应电动势为：
?=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}Ld$=kLd      
感应电流为：I=$\frac{?}{R+r}$=$\frac{kLd}{R+r}$               
当t=2s时，F=0，由ab棒静止有：
mgsinθ=ktIL=$\frac{{k}^{2}t{L}^{2}d}{R+r}$                    
得k=$\sqrt{\frac{mg（R+r）sinθ}{t{L}^{2}d}}$=$\sqrt{\frac{0.2×10×（1.5+0.5）×0.5}{2×{1}^{2}×4}}$=0.5（T/s）      
（2）前4s内，I=$\frac{?}{R+r}$=$\frac{kLd}{R+r}$=$\frac{0.5×1×4}{1.5+0.5}A$=1A                   
t=3s时，电阻R的热功率P_R=I²R=1²×1.5W=1.5W                                  
（3）从第4s末开始，B=kt=2T，且不变，?=BLv，I=$\frac{?}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
则有  $\frac{p}{v}$+mgsinθ=BIL                                          
得：v=2m/s                                                 
答：（1）磁感应强度大小随时间变化的比例系数k为0.5T/s；
（2）t=3s时，电阻R的热功率P_R为1.5W．
（3）v的大小为2m/s．

点评 本题是电磁感应与力学知识、电路等知识的综合，解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律E=n$\frac{△φ}{△t}$=n$\frac{△B}{△t}$S、导体棒切割产生的感应电动势E=BLv、安培力公式F=BIL和平衡条件．