Question

11．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{G{T}^{2}}{4π}}$
• B． $\sqrt{\frac{4π}{G{T}^{2}}}$
• C． $\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{G{T}^{2}}{3π}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，可以列式求解出行星的质量，进一步求出密度．

解答 解：飞船绕某一行星表面做匀速圆周运动，万有引力等于向心力                
      F_引=F_向
即：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由$ρ=\frac{M}{V}$得：
该行星的平均密度为$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
故选：B．

点评 本题可归结为一个结论：环绕行星表面做圆周运动的卫星，其公转周期平方与行星平均密度的乘积是一个定则，即ρT²=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$