Question

如图所示，长为L的细绳，一端系有一质量为m的小球，另一端固定在O点，细绳能够承受的最大拉力为9mg．现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动，不计空气阻力．求：
（1）小球通过O点正下方时，小球对绳的拉力．
（2）如果在竖直平面内直线OA（OA与竖直方向的夹角为θ）上某一点O′钉一个小钉，为使小球可绕O′点在竖茸水平面内做完整圆周运动，且细绳不致被拉断，OO′的长度d所允许的范围．

Answer 1

分析：（1）从静止到O点正下方得过程中根据机械能守恒定律列式，在最低点根据向心力公式列式，联立即可求解；
（2）设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v₂，根据向心力公式求出最高点速度，由水平到最高点，由动能定理求得最大半径，对小球在小圆最低点时由向心力公式结合动能定理求出最小半径，进而求出半径的范围，由于d=L-r，即可求出d的范围．

解答：解：（1）设小球在O点正下方时的速度为v₁，绳的拉力为F，由机械能守恒定律得：
mgL=

mv02

2

         
在最低点    F-mg=

m v 2 1

L

 
解得    F=3mg   
由牛顿第三定律得，小球对绳的拉力大小F′=3mg，方向竖直向下． 
（2）设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v₂，
则：mg=

m v 2 2

r

  
解得   v2=

rg

 
由水平到最高点，由动能定理：mg(Lcosθ-rcosθ-r)=

1

2

m

v

2 2

 
解得r=

2cosθ

3+2cosθ

L 
因绳能承受的最大拉力为T_m=9mg，设小球在小圆轨道最低点的速度为v₃，
由向心力公式得：T_m-mg=

m v 2 3

r

 
由动能定理得：mg(Lcosθ-rcosθ+r)=

1

2

m

v

2 3

 
解得   r=

cosθ

3+cosθ

L
所以r的取值范围：

cosθ

3+cosθ

L≤r≤

2cosθ

3+2cosθ

L
由于d=L-r，所以有

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L
答：（1）小球通过O点正下方时，小球对绳的拉力为3mg．
（2）d所允许的范围为

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L．

点评：本题主要考查了动能定理及向心力公式的应用，要注意小球能最高点对速度有要求，在最低时绳子的拉力不能超过最大承受力，难度适中．