Question

20．如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M，（M＞＞m₁，M＞＞m₂）．a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T_a：T_b=1：k．（k＞1，为正整数）从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则（　　）

• A． a、b距离最近的次数为k次
• B． a、b距离最近的次数为k+1次
• C． a、b、c共线的次数为2k次
• D． a、b、c共线的次数为2k-2次

Answer 1

分析 质点a、b均在c点的万有引力的作用下绕c做圆周运动，根据周期比，每多转半圈，三质点共线一次，可先求出多转半圈的时间，与总时间相比，得出三点共线次数．

解答 解：A、设每隔时间T，a、b相距最近，则（ω_a-ω_b）T=2π，所以T=$\frac{2π}{{ω}_{a}-{ω}_{b}}$=$\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{a}}-\frac{2π}{{T}_{b}}}=\frac{{T}_{a}{T}_{b}}{{T}_{b}-{T}_{a}}$
故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{T}$=$\frac{{T}_{b}-{T}_{a}}{{T}_{a}}=\frac{k{T}_{a}-{T}_{a}}{{T}_{a}}=k-1$
即a、b距离最近的次数为k-1次，故AB均错误．
C、设每隔时间t，a、b共线一次，则（ω_a-ω_b）t=π，所以t=$\frac{π}{{ω}_{a}-{ω}_{b}}$=$\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{a}}-\frac{2π}{{T}_{b}}}=\frac{{T}_{a}{T}_{b}}{{2（T}_{b}-{T}_{a}）}$；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{t}$=$\frac{{2（T}_{b}-{T}_{a}）}{{T}_{a}}=\frac{2k{T}_{a}-{2T}_{a}}{{T}_{a}}=2k-2$．
故a、b、c共线的次数为2k-2，故C错误，D正确．
故选：D

点评 本题主要考查圆周运动的概念，以及的角速度与周期之间的关系，解这样的问题，最好画画草图，寻找角度与周期之间的关系．