Question

12．半径为R的四分之一圆柱形透明体，圆心为O，放置在一水平面上，一细束单色光从P点垂直于侧面射入透明体，从M点射出的光线照射到水平面上的B点，已知OP=$\frac{R}{2}$，测得O、B间的距离为$\sqrt{3}$R，求：
（i）透明体材料的折射率；
（ii）若要使折射光线消失则入射点到O点的距离应满足什么条件．

Answer 1

分析 （i）画出光路图，根据几何知识分别求出入射角和折射角，由折射定律求出折射率．
（ii）由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，当光线射到弧面上刚好发生全反射时，光线将不能从PQ面射出，折射光线消失，由几何知识求出入射点到O点的距离．

解答 解：（i）如下图所示．过M点作法线交于O点，在△OPM中，

  sini=$\frac{OP}{OM}$=$\frac{1}{2}$
得 i=30°----------------------------------①
过M点作OB的垂线交OB于N点，
求得：ON=Rcos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$---------------------②
NB=OB-ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R--------------------③
则 ON=NB，△OBM是等腰三角形，则 r=2∠MON=2×30°=60°-------------④
透明体的折射率 n=$\frac{sinr}{sini}$-------------⑤
联立①④⑤得：n=$\sqrt{3}$------------------⑥
（ii）由全反射临界角公式得 sinC=$\frac{1}{n}$----------------------------------⑦

联立⑥⑦得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-----------------⑧
由OP′=RsinC-------------------------------⑨
联立⑨⑩可得：OP′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R-------------------------------⑩
故若要使折射光线消失则入射点到O点的距离应满足 R≥OP≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
答：（i）透明体材料的折射率是$\sqrt{3}$；
（ii）若要使折射光线消失则入射点到O点的距离应满足条件的是：R≥OP≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．

点评 本题是几何光学问题，画面出光路图是解题的基础，运用折射定律和几何知识的综合研究．