Question

13．如图所示，一质量为m的小球，在半径为R光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动
（1）若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？
（2）若小球在最低点受到轨道的弹力为8mg，则小球在最高点的速度及受到轨道的弹力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球小球恰好能通过最高点时，轨道对小球的弹力为零，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点的速度，由机械能守恒定律求出最低点的速度．在最低点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力．
（2）在最低点，由牛顿第二定律求得小球的速度，再由机械能守恒定律求小球在最高点的速度，并由牛顿第二定律求小球受到轨道的弹力．

解答 解：（1）小球恰好能通过最高点时，轨道对小球的弹力为零，小球只受重力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得，小球通过最高点的速度为 v₁=$\sqrt{gR}$
设小球通过最低点的速度为v₂．由机械能守恒定律有
   2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可得 v₂=$\sqrt{5gR}$
小球在最低点时，由牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 N=6mg
所以小球在最低点时受到重力mg和轨道的支持力，大小为6mg．
（2）若小球在最低点受到轨道的弹力为8mg，设小球在最低点和最高点的速度分别为v₃和v₄．
在最低点，有 8mg-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
可得 v₃=$\sqrt{7gR}$
由机械能守恒定律得
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
解得 v₄=$\sqrt{3gR}$
在最高点，由牛顿第二定律得 mg+F=m$\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
解得：轨道对小球的弹力 F=2mg
答：
（1）小球在最高点和最低点的速度分别是$\sqrt{gR}$和$\sqrt{5gR}$，小球在最高点时只受重力，小球在最低点时受到重力mg和轨道的支持力，大小为6mg．
（2）小球在最高点的速度是$\sqrt{3gR}$，受到轨道的弹力是2mg．

点评 解决本题的关键知道在最高点的临界条件：重力等于向心力，知道小球通过最高点和最低点时，由合力充当向心力，运用牛顿第二定律可求速度．