Question

20．在桌面上有一倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面是边长为a的等边三角形，如图所示．有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率n=$\sqrt{2}$，光在空气中的传播速度为c．求：
（i）光束在桌面上形成的光斑半径R；
（ii）光束在玻璃中传播的时间t．

Answer 1

分析 （i）平行光束垂直入射到圆锥的底面上，方向不变射到母线上发生折射，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为1.5，可得临界角小于45°，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．故可根据几何关系可确定光斑的半径光束在桌面上形成的光斑半径R；
（ii）根据几何知识求光束在玻璃中传播的距离，由n=$\frac{c}{v}$ 求出光束在玻璃中传播的速度，从而求得光束在玻璃中传播的时间t．

解答 解：（i）设玻璃的临界角为C，根据$sinC=\frac{1}{n}$…①
得：C=45°…②
光线垂直圆锥底面BC射入玻璃时，直线传到AB面．由几何关系可知入射角 i=60°
由于i=60°＞C=45°，所以光线会在AB面上发生全反射…③
光路如图，由几何关系知，反射光线恰好垂直AC面射出…④
由几何关系可知：AE=2r，在△AEG中，由于∠AEG=∠AGE=30°，则AG=AE=2r…⑤
所以，由旋转对称性可知光束在桌面上形成的光斑半径R=2r…⑥
（ii）由于△AEH为等边三角形，所以EF=AN，故光线在玻璃中的传播距离始终为L=DE+EF=MN+AN=AM=asin60°…⑦

其余入射点的光线在玻璃中的传播距离类似证明均为L，
光线在玻璃中的传播时间 t=$\frac{L}{v}$…⑧
而n=$\frac{c}{v}$…⑨
联立解得$t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$…⑩
另解：（ii）如图，经过任意入射点P的光线在玻璃中的传播传播路径为PQS，由于△AQT为等边三角形，所以QS=AJ，故光线在玻璃中的传播距离始终为
L=PQ+QS=MJ+AJ=AM=asin60°  ⑦
光线在玻璃中的传播时间t=$\frac{L}{v}$   ⑧，而n=$\frac{c}{v}$ ⑨
联立解得 $t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$ ⑩
答：
（i）光束在桌面上形成的光斑半径R是2r；
（ii）光束在玻璃中传播的时间t是$\frac{\sqrt{6}a}{2c}$．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时能灵活利用几何关系来辅助计算．